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lim(n→∞) (1-1/n)^nの求め方を教えてください。数学が苦手なのでなるべく丁寧に教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。

A 回答 (5件)

#1です。


ヒントを参考に回答者さんの分かるところまで解答を差悪征して分からないところを補足で質問してください。

追加ヒント
A#1のヒントで
eの指数部:
[{log(1-x)}/x]
はx->0のとき
0/0型になりますので分子・分母を微分してやってから
極限を取れば「-1]に収束しますので
元の式の極限は
e^(-1)=1/e
となります。
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#1,#4です。


回答を参考にして分かる範囲で解答をつくり、分からないところは解答を示してここが分からない、などと補足質問をしてください。
そうしないと解決に至りませんよ。

(すでに解決していれば質問を閉じてください。)

A#4の追加ヒント
lim(x->0){log(1-x)}/x
=lim(x->0){log(1-x)}'/x'←「'は微分を表す」
=lim(x->0){-1/(1-x)}/1
=lim(x->0){-1/(1-x)}
=-1
lim(x->0)e^[{log(1-x)}/x]=e^(-1)=1/e
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まず、


lim(n→∞) (1+1/n)^n=eですが、nがマイナス∞に行くときも、lim(n→-∞) (1+1/n)^n=eになることを確認してください。(証明は教科書か何かにあると思います)

そこで、m=-nと置きます。

すると、
与式=lim(n→∞) (1-1/n)^n
=lim(m→-∞)(1+1/m)^(-m)
=lim(m→-∞){(1+1/m)^m}^(-1)
=?
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lim(n→∞) (1+1/n)^n = e です。


m=n-1(n>=2)とすると
(1-1/n)^n={(n-1)/n}^n={m/(m+1}^(m+1)=(1/(1+(1/m))^(m+1)={1/(1+(1/m))^m}{1/(1+(1/m)}

lim (an・bn)=(lim an)(lim bn)
lim (an±+bn)=lim an±lim bn
lim (an/bn)=(lim an)/(lim bn) (bn≠0)

などを使います。
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分かる範囲で解答を示して分からないところを質問してくてください。

さもないと削除対象になります。
それに解答をそっくり書いても違反になりますので書けません。

ヒント
x=1/n
とおいて
n->∞をx->+0
に変換してください。
(1-x)^(1/x)=e^[{log(1-x)}/x]
として極限を考えてください。

ヒントを元に考えてみてください。
質問する場合は分かるところまでの解答を示して質問するようにしてください。
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