数Ⅲ極限です。 limx→-♾️ sinx/xのときは挟み撃ちを使っていたのに limx→0 sin

数Ⅲ極限です。
limx→-♾️ sinx/xのときは挟み撃ちを使っていたのに
limx→0 sin4x/xのときはなぜ使えないのでしょうか

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/30 12:24

#1訂正です

lim{x→0}{sin(4x)}/xのとき挟み撃ちを使えます

x>0のとき

4x-32x^3/3≦sin(4x)≦4x

4-32x^2/3≦sin(4x)/x≦4

4=lim{x→+0}4-32x^2/3≦lim{x→+0}sin(4x)/x≦4

∴
lim{x→+0} {sin(4x)}/x=4

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/06/30 11:05

絶対に使えない、ということじゃなくて「|x|が0に近いときには常に f(x) ≧ sin4x/x ≧ g(x) である、ということが容易に証明できて、かつ、 f(0)=g(0) （あるいは limx→0 f(x) = limx→0 g(x)）が明らかである、そういうf, g」ってものを、自分ではどうも思いつかないもんだから、使いたくても使えない、ということですね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/30 05:23

limx→-∞ |(sinx)/x|≦limx→-∞ |1/x|=0

となって0になるから使えるのであって

limx→0 |(sin(4x))/x|≦limx→0 |1/x|=∞

となって∞になってしまうから使えない

limx→0 {sin(4x)}/x
=limx→0 4{sin(4x)}/(4x)
=4