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252(6)で、解説にt=1/2xとすると、x→∞の時t→+0となっているのですが、何故t→+0の様に0の前に+がついてるのですか。x→∞の時tが0に近づくのは分かります。だから+なしでx→∞のときt→0でも良いのですか。

「252(6)で、解説にt=1/2xとする」の質問画像

A 回答 (7件)

解説にt=1/2xとすると、x→∞の時t→+0となっているのですが、何故t→+0の様に0の前に+がついてるのですか。


>x=1のときt=1/2
x=2ならt=1/4
x=3ならt=1/8
・・・
というように
xが大きくなるとtは0に近づきますが決して負にはなりません。
つまりtを数直線上で考えると、
xの増加に伴い、tは+0.1→+0.01→+0.001→・・・→+0.000000000000~00001
というように数直線の右側(+側)から0に近づくのです
この右側から0に近づくというのを明示したのが「t→+0」です。

x→∞の時tが0に近づくのは分かります。だから+なしでx→∞のときt→0でも良いのですか。
>t→0には 
tは+0.1→+0.01→+0.001→・・・→+0.000000000000~00001と
-0.1→-0.01→-0.001→・・・→-0.000000000000~00001
というように+、-両側から0に近づくことを意味しますから、厳密に言うとt→+0とは異なります
従って、(本問ではt→0でも答えは同じになると思いますが、)t→0としてしまうのは不正確です
なお、そのような正確性を欠くことをしていると
例えば
lim[t→+0]1/t=+∞
lim[t→-0]1/t=-∞
という式などで、+、-を間違う事にもなりかねません。
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表記上の約束です。


t の値を正の方から小さくしていって限りなく 0 に近づけることを
t→+0
反対に負の方から大きくしていって限りなく 0 に近づけることを
t→-0
と表記します。そしてどちらから近づけても結果が同じになるとき
t→0
と表記します。
例えば
y=1/x
のような関数では +0 と -0 では結果が大きく違ってきますよね。
ですから極限の世界では +0 と -0 を明確に区別しているのです。
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No.5さんが書いておられるように、問題によっては


lim[t→+0]g(t) と lim[t→-0]g(t) で値や収束性が異なる場合があるのです。
例えば、lim[x→+∞] e^( -1/tan(1/2x) ) とか、どうなります?

今回の252(6)では、t→+0 でも t→0 でも結果が違わないので
t→0 で扱ってもかまいません。そのことが事前に見えているのなら、
最初から t→0 でよいのです。
長い計算の途中だったり式が複雑だったりして、t→0 でもよいのか駄目なのか
がすぐに判らない場合は、とりあえず t→+0 にしておくのが無難です。
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t=1/2xとすると、x=±∞の時t=0です。

0に符号±はありません。
この解説は、屁が理屈を言っているようなものです。無視しましょう。
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x をどんどん小さくして、x → -∞ にしたらどうなりますか?


いろいろな場合を想像してみよう。
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t=1/(2x)のグラフは直角双曲線をとり、プラス方向から0に近づけると無限大に近づき、マイナス方向から0に近づけるとマイナス無限大に近づきます。



x→∞はプラス無限大の極限なので、t=1/(2x)に置き換えた場合、tの極限はプラス方向から0に近づくため、t→+0と記述する必要があります。
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t = 1/(2x) としてるんだから, x → ∞ のとき t は正.

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