No.5ベストアンサー
- 回答日時:
途中の符号を間違えていたので、一部訂正。
(答えは変わらない)
=lim[φ→0] (√3 - sinφ - √3cosφ)/2sinφ ←ここまでは同じ
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)(1-cosφ)/sinφ
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2){(1-cosφ)(1+cosφ)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2){(1-(cosφ)^2)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)(sinφ)^2/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)sinφ/(1+cosφ)
=-1/2
No.4
- 回答日時:
指数法則で、a^(b×c)=(a^b)^c=(a^c)^bというのがある。
これを利用して、変数置換を行う。
t=x/2とすると、x→∞はt→∞になる。
lim[x→∞](1 + 2/x)^x
=lim[x→∞](1 + 2/x)^(x/2 × 2)
=lim[x→∞]((1 + 2/x)^(x/2))^2
=lim[t→∞]((1 + 1/t)^t)^2
=e^2
lim x→1 √3x^2+1 -2x/x-1については、
lim[x→1] √(3x^2 + 1) - 2x/(x-1)であれば、発散する。
lim[x→1] (√(3x^2 + 1) - 2x)/(x-1)であれば、収束する。
(かなり手間だけどね)
x=(1/√3)tanθとすると、x→1はθ→π/3となる。
lim[x→1] (√(3x^2 + 1) - 2x)/(x-1)
=lim[θ→π/3] (√((tanθ)^2 + 1) - (2√3)tanθ)/((1/√3)tanθ - 1)
=lim[θ→π/3] (1/cosθ - (2√3)(sinθ/cosθ))/((1/√3)(sinθ/cosθ) - 1)
=lim[θ→π/3] (1-(2√3)sinθ)/((1/√3)sinθ-cosθ)
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/(sinθ-√3cosθ)
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2((1/2)sinθ-(√3/2)cosθ)
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2(sinθcos(π/3)-cosθsin(π/3))
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2sin(θ-(π/3))
φ=θ-(π/3)とすると、θ→π/3はφ→0となる。
=lim[φ→0] (√3 - 2sin(φ+(π/3))/2sinφ
=lim[φ→0] (√3 - 2sinφcos(π/3) - 2cosφsin(π/3))/2sinφ
=lim[φ→0] (√3 - sinφ - √3cosφ)/2sinφ
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)(1-cosφ)/sinφ
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2){(1-cosφ)(1+cosφ)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2){(1-(cosφ)^2)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)(sinφ)^2/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)sinφ/(1+cosφ)
=-1/2
No.3
- 回答日時:
lim x→1 √(3x^2+1) -2x/(x-1)
x<1から1になった時
lim x→1 2 +∞=+∞
x>1から1になった時
lim x→1 2 -∞=-∞
No.1
- 回答日時:
lim x→∞ (1+2/x)^x、x=2tとおくと
lim t→∞ (1+1/t)^2t=lim t→∞[ (1+1/t)^t]^2
lim t→∞[ (1+1/t)^t]=eだから
lim t→∞[ (1+1/t)^t]^2=e^2
また、lim x→∞ (1+3/x)^x、x=3tとおくと答えがe^3
lim x→∞ (1+e/x)^x、x=etとおくと答えがe^e
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