数学の質問ですがよろしくお願い致します。 曲線C Y＝sin x（0くxくπ/2） C上の点Pにおけ

数学の質問ですがよろしくお願い致します。

曲線C Y＝sin x（0くxくπ/2）
C上の点PにおけるCの法線をLとする

1. 法線Lが（0.1）を通るような点Pがただ一つ存在することを示す


2. １の条件を満たす点Pに対し、直線L、　曲線C、Y＝1 で囲まれる部分の面積をS1とし、直線L、曲線C、X軸で囲まれる部分の面積をS2とする。
S1とS2の大小を比較せよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/26 05:32

1. 点Pの座標を(t , sin t) とします。

(0<t< π/2)
Y=sin x
Y'=cos x
法線 L は
Y - sin t= - (1/cos t)(x - t)
点(0,1) を通るとすると、
1 - sin t= - (1/cos t)(0 - t)
1 - sin t= - (1/cos t)(- t)
cos t - sin t cos t=t ……①

①の左辺を、f(t)=cos t - sin t cos t とします。
f'(t)= - sin t - cos² t +sin² t
= - sin t -(1 - sin² t )+sin² t
=2sin² t - sin t - 1
=(2sin t+1)(sin t - 1)
0<t< π/2 のとき、
(2sin t+1)>0 , (sin t - 1)<0 より、
f'(t)<0
Y=f(t) のグラフを考えると、単調減少で、
f(0)=1 , f(π/2)=0 より、
0<t< π/2 のとき、0<Y<1

①の右辺を、g(t)=t とすると、
Y=g(t) のグラフは、単調増加で、
g(0)=0 , g(π/2)=π/2 より、
0<t< π/2 のとき、0<Y<π/2

よって、①は 0<t< π/2 に解を1つ持ちます。
したがって、法線Lが（0.1）を通るような点Pがただ一つ存在します。

2. １の条件を満たす点Pの座標を(t₁, sin t₁)とします。(0<t₁< π/2)
法線 L は、
Y - sin t₁= - (1/cos t₁)(x - t₁)
ｘ軸との交点のｘ座標は、
0 - sin t₁= - (1/cos t₁)(x - t₁)
- sin t₁ cos t₁= - x +t₁
x= t₁+ sin t₁ cos t₁
また、①より、
cos t₁ - sin t₁ cos t₁=t₁……②
よって、
x=(cos t₁ - sin t₁ cos t₁)+sin t₁ cos t₁
= cos t₁

S1=(1/2)t₁(1 - sin t₁)+∫(x: t₁→π/2) (1 - sin x)dx
=(1/2)t₁ - (1/2)t₁ sin t₁+[x +cos x] (x: t₁→π/2)
=(1/2)t₁ - (1/2)t₁ sin t₁+π/2 - (t₁+cos t₁)
= - (1/2)t₁ - (1/2)t₁ sin t₁ - cos t₁+π/2

S2=∫(x: 0→t₁) sin x dx+(1/2)(cos t₁- t₁) sin t₁
=[ - cos x] (x: 0→t₁)+(1/2)sin t₁ cos t₁ - (1/2)t₁ sin t₁
= -cos t₁+1+(1/2)sin t₁ cos t₁ - (1/2)t₁ sin t₁

これより、
S1 - S2={- (1/2)t₁ - (1/2)t₁ sin t₁ - cos t₁+π/2} - {-cos t₁+1+(1/2)sin t₁ cos t₁ - (1/2)t₁ sin t₁}
=- (1/2)t₁ +π/2 - 1 - (1/2)sin t₁ cos t₁
= - (1/2)(t₁ + sin t₁ cos t₁ + 2 - π )
②より、
t₁ + sin t₁ cos t₁ =cos t₁

よって、
S1 - S2= - (1/2)(cos t₁+ 2 - π )
0<t₁< π/2 より、0<cos t₁<1

したがって、
S1 - S2>0
S1>S2