
参考 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/5811244.html
上記のページにて、断面積が、外側の180°半円 の場合の式、V=(π^2)(r^2)R+(4/3)πr^3 が
記載されていましたが、理論が理解出来ませんでした。
内側の180°半円 の 場合の公式は、どうなるでしょうか?

A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
別解だけど
半円の重心は円の重心から {4/(3π)}rの距離にある。
証明はここ。わりと簡単。
https://mathwords.net/hanenjushin
これとパックスギュルダンの定理を使うと
体積は瞬時に計算できます。
パックスギュルダンの定理
平面の面積×回転する平面の面積の重心の軌跡の長さ=回転体の体積。
No.2
- 回答日時:
その「円環」の中心の「軸」からの半径を R、断面円の半径を A とすれば、
・「軸」周りの角度 θ に対する微小角度 θ~θ+dθ(θ は特定の位置を θ =0 とする)
・「断面円」の中心周りの角度 φ に対する微小角度 φ~φ+dφ(φ は円環の中心と軸とを結ぶ直線を φ =0 とする)
・「断面円」の中心からの半径 r に対する微小厚さ r~r+dr
で囲まれた微小立体部分の体積は
・「断面円」上の断面積:dr ・ rdφ
・その断面積部分の「円環の厚さ」:(R - r・cosφ)dθ
なので
dV = dr ・ rdφ ・ (R - r・cosφ)dθ
= r(R - r・cosφ)dr・dθ・dφ
あとは、これを
・円環全体なら、r:0~A, φ:0~2パイ, θ:0~2パイ で積分
・円環の外側半円なら、r:0~A, φ:(1/2)パイ~(3/2)パイ, θ:0~2パイ で積分
・円環の内側半円なら、r:0~A, φ:-(1/2)パイ~(1/2)パイ, θ:0~2パイ で積分
すればよいだけです。
外側半円なら
Vo = ∫[(1/2)パイ~(3/2)パイ]dφ ・∫[0~A]dr ・∫[0~2パイ] {r(R - r・cosφ)}dθ
= 2パイ∫[(1/2)パイ~(3/2)パイ]dφ ・∫[0~A]{r(R - r・cosφ)}dr
= 2パイ∫[(1/2)パイ~(3/2)パイ][ (R/2)r^2 - (cosφ)r^3 /3 ][0~A] dφ
= 2パイ∫[(1/2)パイ~(3/2)パイ][ (R/2)A^2 - (cosφ)A^3 /3 ]dφ
= 2パイ[ (R/2)A^2 φ - (A^3 /3)sinφ ][(1/2)パイ~(3/2)パイ]
= 2パイ{ (R/2)A^2 (3/2)パイ + (A^3 /3) - (R/2)A^2 (1/2)パイ + (A^3 /3) }
= (パイ)^2 RA^2 + (4/3)パイA^3
A を r と書き換えれば、ご質問の式と一致しますね。
ということは、内側半円ならφの積分範囲が変わるだけなので
Vi = 2パイ∫[-(1/2)パイ~(1/2)パイ][ (R/2)A^2 - (cosφ)A^3 /3 ]dφ
= 2パイ[ (R/2)A^2 φ - (A^3 /3)sinφ ][-(1/2)パイ~(1/2)パイ]
= 2パイ{ (R/2)A^2 (1/2)パイ - (A^3 /3) - (R/2)A^2 (-1/2)パイ + (-A^3 /3) }
= (パイ)^2 RA^2 - (4/3)パイA^3
かな。
ちなみに、円環全体なら、これまたφの積分範囲が変わるだけなので
V = 2パイ∫[0~2パイ][ (R/2)A^2 - (cosφ)A^3 /3 ]dφ
= 2パイ[ (R/2)A^2 φ - (A^3 /3)sinφ ][0~2パイ]
= 2パイ{ (R/2)A^2・2パイ - 0 - (R/2)A^2・0 + 0 }
= 2(パイ)^2 RA^2
かな。Vo + Vi に一致しますね。
同じようにやれば「上側半円」(=「下側半円」)も計算できますね。
No.1
- 回答日時:
軸を回転の中心とした回転体の体積を積分で求める方法については理解されていますか?
それが理解できていないようなら、ドーナツの体積の前にそちらを勉強してからでないと、きついと思います。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の質問です。弧度法で扇形の孤の長さや面積を求める公式の意味についてです。 それぞれの円周・面積の 3 2023/01/09 12:38
- 野球 このバットが発売されたら、一度、このバットで打ってみたいと思いませんか? 10 2023/05/13 14:08
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 消費者問題・詐欺 法律に詳しい方、ご回答いただけると幸いです。 状況: 既に倒産している会社の電化製品の修理をしてもら 3 2023/06/23 20:21
- その他(資産運用・投資) 積立nisa始めるにあたり何点か教えてください。 5 2023/02/17 22:30
- Visual Basic(VBA) VBAプログラム初心者です。 以下の問題のプログラムを表記してみたのですが、実行するためには、どこを 4 2023/01/19 20:04
- その他(プログラミング・Web制作) 大学一年でVBAのプログラミングを勉強しているものです。来週の情報の授業で以下の問題のプログラムを勉 4 2023/01/19 16:15
- 消費者問題・詐欺 法律に詳しい方、ご回答いただけると幸いです。 ある家電の修理を依頼したところ、見積額が1万円程という 10 2023/06/28 23:10
- その他(形式科学) 【急募!】円の高さの求め方 添付写真の円の高さxを求める時、変数(直径と面積)のみを当て嵌めて計算す 2 2023/02/26 22:13
- 中学校 円錐の側面積の公式って学校でならいますか? 7 2022/06/13 23:45
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学の関数極限の問題を教えて...
-
教えてください!数学の問題です
-
x^2=i
-
数学の問題教えてください
-
sinθ=-1/√2がθ=5/4π、7/4πと...
-
円環の体積 断面積が半円の内側...
-
ベクトル場の面積分に関してです
-
sin(π+x)は、-sinx になりますか?
-
離散フーリエ変換(DFT)の実数...
-
0≦θ≦2πのとき、sin2θ+cosθ=0の...
-
数学
-
数学です
-
cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるの...
-
数学について質問です。 nを正...
-
正弦波の「長さ」
-
固有値の値について
-
数学Cが消えた
-
一行目 3 2 二行目 -5 -3 とい...
-
ヤコビ法とQR法について
-
もしレジの行列に気付かずに割...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
0≦θ≦2πのとき、sin2θ+cosθ=0の...
-
数学の関数極限の問題を教えて...
-
日本数学オリンピック2000年予...
-
cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるの...
-
f(x)=√2sinx-√2cosx-sin2x t...
-
正弦波の「長さ」
-
離散フーリエ変換(DFT)の実数...
-
sinθ―√3cosθ=a(θ+α)の形にした...
-
渦巻きの数式を教えてください...
-
台形波のフーリエ級数
-
sinとcosのおもしろい性質を見...
-
なんで4分の7πではなく −4分のπ...
-
数Ⅲ 複素数平面について質問で...
-
高1 数学II三角関数
-
ベクトル場の面積分に関してです
-
三角関数
-
教えてください!数学の問題です
-
高校数学
-
数学の問題教えてください
-
0≦x<2πの範囲で関数y=-√3sin...
おすすめ情報