No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x≧0 y≧0 x+y≦パイ/2
1/2≦sin(x+y)≦√3/2
を同時に満たす x, y は
パイ/6 ≦ x+y ≦ パイ/3
です。
これより
y ≧ -x + パイ/6 ①
y ≦ -x + パイ/3 ②
ということになります。
従って、領域 D は、xy 平面で、
「原点およびx軸、y軸で囲まれた、幅 パイ/3、高さ パイ/3 の三角形から、幅 パイ/6、高さ パイ/6 の三角形を引いた領域」 ③
です。
この面積は
S = (1/2)*(パイ/3)*(パイ/3) - (1/2)*(パイ/6)*(パイ/6)
= (パイ)^2/18 - (パイ)^2/72
= (パイ)^2/24
です。合っているようです。(この領域の面積って、ここで確認するために与えられているのでしょう)
次に、
f(x,y) = 3sin^2(x/2+y) + cos^2(x/2+y) + √3sin(x+2y) + 2
とおけば、
√3sin(x+2y) = √3sin[ 2(x/2+y) ]
= 2√3sin(x/2+y)cos(x/2+y)
であることから、
f(x,y) = [ √3sin(x/2+y) + cos(x/2+y) ]^2 + 2
さらに
√3sin(x/2+y) + cos(x/2+y)
= 2[ (√3/2)sin(x/2+y) + (1/2)cos(x/2+y) ] ④
で、
cos(パイ/6) = √3/2
sin(パイ/6) = 1/2
であることから
④ = 2[ cos(パイ/6)sin(x/2+y) + sin(パイ/6)cos(x/2+y) ]
= 2sin(x/2+y +パイ/6)
なので
f(x,y) = 2sin^2(x/2+y +パイ/6) + 2 ⑤
従って、⑤の最大値、最小値を求めるには
sin^2(x/2+y +パイ/6)
の最大値、最小値を求めればよいことになります。
明らかに
0 < x/2+y +パイ/6 < パイ
なので、sin^2(x/2+y +パイ/6) > 0 であり、
sin(x/2+y +パイ/6)
の最大値、最小値を求めればよいです。
ここで
Z = x/2 + y + パイ/6
とおくと
y = -x/2 + Z - パイ/6
となり、このグラフの y 切片の最大・最小が、Z の最大・最小に対応することが分かります。
このグラフが上記の領域D(③の領域)を通るときの y 切片の最大・最小を探せば、
・y = -x/2 + パイ/3 のとき y 切片が最大 (領域③との交点は (0, パイ/3) )
・y = -x/2 + パイ/12 のとき y 切片が最小 (領域③との交点は (パイ/6, 0) )
ということが分かります。
つまり
・Z の最大値は パイ/2
・Z の最大値は パイ/4
となります。
パイ/4 ≦ Z ≦ パイ/2 の範囲で、sin(Z) は Z=パイ/2 のとき最大、 Z=パイ/4 のとき最小になります。
ということで
f(x,y) = 2sin^2(Z) + 2
の最大値は
2sin^2(パイ/2) + 2 = 2*1 + 2 = 4
最小値は
2sin^2(パイ/4) + 2 = 2*(1/2) + 2 = 3
計算間違いがあるかもしれないので、検算してください。
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