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xy平面上でx≧0 y≧0 x+y≦π/2 1/2≦sin(x+y)≦√3/2を同時に満たす点(x,y)全体の集合を領域Dとする。
領域Dの面積はπ^2/24である。

点P(x,y)が領域Dの中を動くとき、
3sin^2(x/2+y)+cos^2(x/2+y)+√3sin(x+2y)+2の最大値と最小値を求めよ。

よろしくお願いします

A 回答 (1件)

x≧0 y≧0 x+y≦パイ/2


1/2≦sin(x+y)≦√3/2
を同時に満たす x, y は
 パイ/6 ≦ x+y ≦ パイ/3
です。
これより
 y ≧ -x + パイ/6   ①
 y ≦ -x + パイ/3   ②
ということになります。

 従って、領域 D は、xy 平面で、
「原点およびx軸、y軸で囲まれた、幅 パイ/3、高さ パイ/3 の三角形から、幅 パイ/6、高さ パイ/6 の三角形を引いた領域」  ③
です。
 この面積は
  S = (1/2)*(パイ/3)*(パイ/3) - (1/2)*(パイ/6)*(パイ/6)
   = (パイ)^2/18 - (パイ)^2/72
   = (パイ)^2/24
です。合っているようです。(この領域の面積って、ここで確認するために与えられているのでしょう)

 次に、
  f(x,y) = 3sin^2(x/2+y) + cos^2(x/2+y) + √3sin(x+2y) + 2
とおけば、
  √3sin(x+2y) = √3sin[ 2(x/2+y) ]
        = 2√3sin(x/2+y)cos(x/2+y)
であることから、
  f(x,y) = [ √3sin(x/2+y) + cos(x/2+y) ]^2 + 2

さらに
 √3sin(x/2+y) + cos(x/2+y)
= 2[ (√3/2)sin(x/2+y) + (1/2)cos(x/2+y) ]  ④
で、
 cos(パイ/6) = √3/2
 sin(パイ/6) = 1/2
であることから
④ = 2[ cos(パイ/6)sin(x/2+y) + sin(パイ/6)cos(x/2+y) ]
  = 2sin(x/2+y +パイ/6)
なので

  f(x,y) = 2sin^2(x/2+y +パイ/6) + 2   ⑤

従って、⑤の最大値、最小値を求めるには
  sin^2(x/2+y +パイ/6)
の最大値、最小値を求めればよいことになります。
 明らかに
  0 < x/2+y +パイ/6 < パイ
なので、sin^2(x/2+y +パイ/6) > 0 であり、
  sin(x/2+y +パイ/6)
の最大値、最小値を求めればよいです。

 ここで
  Z = x/2 + y + パイ/6
とおくと
  y = -x/2 + Z - パイ/6
となり、このグラフの y 切片の最大・最小が、Z の最大・最小に対応することが分かります。

 このグラフが上記の領域D(③の領域)を通るときの y 切片の最大・最小を探せば、
・y = -x/2 + パイ/3 のとき y 切片が最大 (領域③との交点は (0, パイ/3) )
・y = -x/2 + パイ/12 のとき y 切片が最小 (領域③との交点は (パイ/6, 0) )
ということが分かります。
 つまり
・Z の最大値は パイ/2
・Z の最大値は パイ/4
となります。
 パイ/4 ≦ Z ≦ パイ/2 の範囲で、sin(Z) は Z=パイ/2 のとき最大、 Z=パイ/4 のとき最小になります。

 ということで
  f(x,y) = 2sin^2(Z) + 2
の最大値は
  2sin^2(パイ/2) + 2 = 2*1 + 2 = 4
最小値は
  2sin^2(パイ/4) + 2 = 2*(1/2) + 2 = 3


 計算間違いがあるかもしれないので、検算してください。
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この回答へのお礼

…スゴイ!!こんなにわかりやすく解説していただきありがとうございます!

お礼日時:2016/09/24 11:56

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