ベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS

この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noocyte 回答日時： 2006/11/15 20:11

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが，

積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか，
それともカマボコ型の表面全体でしょうか？
一応各部分に分けて計算します．

円柱座標を使って y ＝ r * cosθ，z ＝ r * sinθ とします．

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル：(0, y，z)＝(0, r * cosθ, r * sinθ)．
これを正規化すると単位法線ベクトルｎは (0, cosθ，sinθ)．

・微小面積 |dS| ＝ r * dθ * dx．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・n * |dS|
＝ (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
＝ (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
＝ r^2 * dθ * dx．

これを 0≦θ≦π，0≦x≦1 の範囲で積分すると，円柱側面での面積分は，
I1 ＝ r^2 * π * 1 ＝ πｒ^2．


■円柱の底面 (x＝1)

・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(1，0，0)．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・n * |dS|
＝ (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
＝ x * |dS|
＝ |dS|．

これを円柱の底面にわたって積分すると，底面積そのものなので，
I2 ＝ πｒ^2 / 2．


■円柱の底面 (x＝0)

・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(-1，0，0)．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・n * |dS|
＝ (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
＝ -x * |dS|
＝ 0．

∴ I3 ＝ 0．


■カマボコの底面 (z＝0)

・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(0，0，-1)．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
＝ -z * |dS|
＝ 0．

∴ I4 ＝ 0．

したがって全体の面積分は I1＋I2＋I3＋I4 ＝ (3/2)πｒ^2 ＝ ６π．

答え合ってますか？

この回答への補足

回答ありがとうございます。

自分にもどこを積分するのかわからないのですが、問題文には
「S:円柱面 y^2+z^2=4」
とあるので、"円柱面"といわれる場所を積分するのだと思うのですが…y^2+z^2=4の部分が"円柱面"なんでしょうかね？
また、略解には
n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k；4π
とありますが、自分には法単位ベクトルnの出し方も今一つわからず…
よろしくお願いします。

自分もとりあえずご回答を参考にまた挑戦してみます。

補足日時：2006/11/16 00:27

この回答へのお礼

見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。


曲面S:z=f(x,y)をxy平面上に正射影して得られる領域をD、Sの法単位ベクトルをn↑とすると次が成り立つ。

1.dS↑=(-z[x]i↑-z[y]j↑+k↑)dxdy

2.∫_[S]A↑・dS↑=∫_[D](A↑・n↑/n↑k↑)dxdy

本問のSやnとは違うかもしれないですが。
また、ベクトルを表すために文字の後に↑を入れてみました。
よろしくお願いします。

お礼日時：2006/11/16 01:10

No.2 回答者： noocyte 回答日時： 2006/11/17 02:14

> また、略解には

> n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k；4π

やはり半円柱の側面だけのようですね．最後の４πが答えです．
(#1 の I1＝πｒ^2 で r＝2 なので．)

Ｘ軸を中心とする円柱の側面の外向き法線は，Ｘ軸に垂直で，
Ｘ軸上の１点から放射状に伸びる線です．
従って単位法線ベクトルは #1 に書いたとおり，
(0, cosθ, sinθ) ＝ (0，y/r，z/r)
＝ (0，y/2，z/2)
＝ (y/2) j↑ ＋ (z/2) k↑
＝ (y/2) j↑ ＋ (1/2)√(4 － y^2) k↑．


> 見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。

ヒントについてはまた後でコメントするつもりです．

この回答へのお礼

お返事が遅くなってしまいすみません。
なんとかわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2006/11/30 21:54