ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS
この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.
円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.
■半円柱の側面 (曲面部分)
・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).
・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.
∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.
これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.
■円柱の底面 (x=1)
・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).
∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.
これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.
■円柱の底面 (x=0)
・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).
∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.
∴ I3 = 0.
■カマボコの底面 (z=0)
・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).
∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.
∴ I4 = 0.
したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.
答え合ってますか?
この回答への補足
回答ありがとうございます。
自分にもどこを積分するのかわからないのですが、問題文には
「S:円柱面 y^2+z^2=4」
とあるので、"円柱面"といわれる場所を積分するのだと思うのですが…y^2+z^2=4の部分が"円柱面"なんでしょうかね?
また、略解には
n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k;4π
とありますが、自分には法単位ベクトルnの出し方も今一つわからず…
よろしくお願いします。
自分もとりあえずご回答を参考にまた挑戦してみます。
見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。
曲面S:z=f(x,y)をxy平面上に正射影して得られる領域をD、Sの法単位ベクトルをn↑とすると次が成り立つ。
1.dS↑=(-z[x]i↑-z[y]j↑+k↑)dxdy
2.∫_[S]A↑・dS↑=∫_[D](A↑・n↑/n↑k↑)dxdy
本問のSやnとは違うかもしれないですが。
また、ベクトルを表すために文字の後に↑を入れてみました。
よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
> また、略解には
> n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k;4π
やはり半円柱の側面だけのようですね.最後の4πが答えです.
(#1 の I1=πr^2 で r=2 なので.)
X軸を中心とする円柱の側面の外向き法線は,X軸に垂直で,
X軸上の1点から放射状に伸びる線です.
従って単位法線ベクトルは #1 に書いたとおり,
(0, cosθ, sinθ) = (0,y/r,z/r)
= (0,y/2,z/2)
= (y/2) j↑ + (z/2) k↑
= (y/2) j↑ + (1/2)√(4 - y^2) k↑.
> 見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。
ヒントについてはまた後でコメントするつもりです.
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