面積

0<x<1/2π の範囲で
y=sin2xとy=cosx
で囲まれた面積を求めよ

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/05 14:45

＞求める面積Sは、y1=sin2x、y2=cosxとすると|y1-y2|をxで積分

すれば得られるので、S=[x=0→(1/2)π]|sin2x-cosx|dx。
まず絶対値を外す。
0＜x＜1/2πの範囲でsin2x-cosx=2sinxcosx-cosx=cosx(2sinx-1)≧0
となるxは、この範囲ではcosx＞0だから2sinx-1≧0よりsinx≧1/2
すなわちx≧π/6。この範囲では|sin2x-cosx|=sin2x-cosxであり、
その他のxの範囲(x＜π/6)ではsin2x-cosx=cosx(2sinx-1)＜0だから
|sin2x-cosx|=-sin2x+cosx。
以上で被積分関数の絶対値が外れるので、
S=∫[x=0→(1/2)π]|sin2x-cosx|dx
=∫[x=0→(1/6)π](-sin2x+cosx)dx+∫[x=(1/6)π→(1/2)π](sin2x-cosx)dx
={(1/2)cos2x+sinx}[x=0→(1/6)π]+{-(1/2)cos2x-sinx}[x=(1/6)π→(1/2)π]
={(1/2)cos(1/3)π+sin(1/6)π}-{(1/2)cos0+sin0}
+{-(1/2)cosπ-sin(1/2)π}-{-(1/2)cos(1/3)π-sin(1/6)π}
=(1/2)*(1/2)+1/2-(1/2)+1/2-1+(1/2)*(1/2)+1/2=1/2・・・答

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/05 06:40

グラフを描くと添付図のようになります。

図の水色に塗った領域の面積Sを求めれば言い訳です。積分で面積を出すには
上の方のグラフの式から下の方のグラフの式を引いて
積分してやればいいので、２つのグラフの上下関係が入れ替わるx=π/6で積分範囲を分けて
それぞれの面積S1,S2の和として面積Sを求めることになります。

　S1=∫[0→π/6] (cos(x)-sin(2x))dx=[sin(x)+(1/2)cos(2x)][0→π/6]
　　=[sin(π/6)+(1/2)cos(π/3)-sin(0)-(1/2)cos(0)]
　　=(1/2)+(1/4)-0-(1/2)
　　=1/4
　S2=∫[π/6→π/2] (sin(2x)-cos(x))dx=[-(1/2)cos(2x)-sin(x)][π/6→π/2]
　　=[-(1/2)cos(π)-sin(π/2)+(1/2)cos(π/3)+sin(π/6)]
　　=(1/2)-1+(1/4)+(1/2)
　　=1/4
　S=S1+S2=(1/4)+(1/4)=1/2 ...(答え)

No.1 回答者： -kempo- 回答日時： 2014/02/05 03:32

分かりにくいと思いますが

とりあえず答えは1/4