A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
>求める面積Sは、y1=sin2x、y2=cosxとすると|y1-y2|をxで積分
すれば得られるので、S=[x=0→(1/2)π]|sin2x-cosx|dx。
まず絶対値を外す。
0<x<1/2πの範囲でsin2x-cosx=2sinxcosx-cosx=cosx(2sinx-1)≧0
となるxは、この範囲ではcosx>0だから2sinx-1≧0よりsinx≧1/2
すなわちx≧π/6。この範囲では|sin2x-cosx|=sin2x-cosxであり、
その他のxの範囲(x<π/6)ではsin2x-cosx=cosx(2sinx-1)<0だから
|sin2x-cosx|=-sin2x+cosx。
以上で被積分関数の絶対値が外れるので、
S=∫[x=0→(1/2)π]|sin2x-cosx|dx
=∫[x=0→(1/6)π](-sin2x+cosx)dx+∫[x=(1/6)π→(1/2)π](sin2x-cosx)dx
={(1/2)cos2x+sinx}[x=0→(1/6)π]+{-(1/2)cos2x-sinx}[x=(1/6)π→(1/2)π]
={(1/2)cos(1/3)π+sin(1/6)π}-{(1/2)cos0+sin0}
+{-(1/2)cosπ-sin(1/2)π}-{-(1/2)cos(1/3)π-sin(1/6)π}
=(1/2)*(1/2)+1/2-(1/2)+1/2-1+(1/2)*(1/2)+1/2=1/2・・・答
No.2
- 回答日時:
グラフを描くと添付図のようになります。
図の水色に塗った領域の面積Sを求めれば言い訳です。積分で面積を出すには上の方のグラフの式から下の方のグラフの式を引いて
積分してやればいいので、2つのグラフの上下関係が入れ替わるx=π/6で積分範囲を分けて
それぞれの面積S1,S2の和として面積Sを求めることになります。
S1=∫[0→π/6] (cos(x)-sin(2x))dx=[sin(x)+(1/2)cos(2x)][0→π/6]
=[sin(π/6)+(1/2)cos(π/3)-sin(0)-(1/2)cos(0)]
=(1/2)+(1/4)-0-(1/2)
=1/4
S2=∫[π/6→π/2] (sin(2x)-cos(x))dx=[-(1/2)cos(2x)-sin(x)][π/6→π/2]
=[-(1/2)cos(π)-sin(π/2)+(1/2)cos(π/3)+sin(π/6)]
=(1/2)-1+(1/4)+(1/2)
=1/4
S=S1+S2=(1/4)+(1/4)=1/2 ...(答え)
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