cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるのが分かりません。 途中式教えてください

cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるのが分かりません。

途中式教えてください

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2022/04/11 21:09

基本の変形は 覚えた方が良いですよ。

cos(θ±2π)=cosθ, cos{θ+(π/2)}=-sinθ 。
cos{θ-(3π/2)}=cos{θ+(π/2)-2π}=cos{θ+(π/2)})-sinθ 。

※ sin についても 同じ様な式が 教科書などに 書いてありませんか。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/11 20:51

3π/2 が 3直角(270°)なのは分かりますか？

単位円周上の点を時計回りに 3直角回転したら、
x 座標は元の点の (- y座標) になる...って話です。
0 < θ < 90° の場合の図を書いてみると、ピンとくるかも。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/11 18:55

加法定理等を用いて純粋に数式上の計算で導き出す事もできますが、三角関数や一般角の意味の理解のためには図で考えた方が分かりやすいと思います。

まずx軸上の正の位置に点A(x,0)を考え、これを原点Oに対して-(3/2)πだけ回転させると、これは原点に対して右回りに(3/2)πだけ回転させる事になるので、結局左回りにπ/2だけ回転させたのと同じになります。そこでOP=rとなる直角三角形OPAを考え、Pの座標を(x,y)、角AOPをθとすると、△OPAをπ/2だけ回転させた時にPが移る点P'の座標は(-y,x)となるので、結局

cos{θ-(3/2)π}

=cos(θ+π/2)

=-y/r

=-sinθ

なおここでは便宜上θが鋭角になる場合だけを考えましたが、θが鈍角等になる場合も

θ=π-α

などとなるような鋭角αを考えればθが鋭角の場合と同じ話になります。

PS:言葉だけで書いたので分かりにくかったかもしれませんが、以上の説明を図を描きながら読むと書いている事が具体的にイメージできてよく分かると思います。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/04/11 14:59

いわゆる「加法定理」

　cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
を使います。

これに
　A = θ, B = (3/2)π
を代入すれば
　cos[θ - (3/2)π] = cosθcos[(3/2)π] + sinθsin[(3/2)π]
= -sinθ

（cos[(3/2)π] = 0, sin[(3/2)π] = -1 なので）

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2022/04/11 14:57

三角関数は、2πごとの繰り返し関数です。

よって、3π/2→π/2　と同じです。
∴cos{θ-(3π/2)}=cos(θ-π/2)=sinθ

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2022/04/11 14:55

cos{θ-(3π/2)}

= cosθcos(3π/2)+sinθsin(3π/2) ・・・①

cos(3π/2)= 0 , sin(3π/2)= -1 を代入して、

　①
= (cosθ)・０ + (sinθ)・(-1)
= -sinθ

です。