高校数学

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【三角関数】
〈三角方程式の解の個数〉

0≦θ≦πのとき、θの方程式
2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の解の個数を、定数kが次の2つの値の場合について調べよ。
k=1，k=-1.9

答え：k=1のとき1個，k=-1.9のとき3個


できるだけ詳しい解説をお願いします
。o@(・_・)@o。

No.4 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/15 13:59

No.3です。

ANo.3とは別解です。
k=1,-1.9のそれぞれについて解を直接求める解法です。
解を表わすには逆三角関数が必要です。
逆三角関数を用いないと実際の解は表現できません。

f(θ)=2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ) -k
=(sinθ+cosθ)^2-1-2(sinθ+cosθ)-k
=(sinθ+cosθ-1)^2-2-k

k=1 のとき
f(θ）=(sinθ+cosθ-1)^2-3
f(θ）=0の解は
　sinθ+cosθ-1=±√3
　√2sin(θ+(π/4))=1±√3
|sin(θ+π/4)|≦1より
　√2sin(θ+(π/4))=1-√3
0≦θ≦πより π/4≦θ+π/4≦5π/4 なので
　θ=-(π/4)+π+sin^-1((√3-1)/√2)=(3π/4)+sin^-1((√3-1)/√2)
θの解は１個

k=-1.9 のとき
f(θ）=(sinθ+cosθ-1)^2-0.1=0の解は
　sinθ+cosθ-1=±√0.1
　√2sin(θ+(π/4))=1±(1/√10)
　√2sin(θ+(π/4))=(√10±1)/√10
0≦θ≦πより π/4≦θ+π/4≦5π/4 なので
　θ=sin^-1((√10+1)/√20)-(π/4), (3π/4)-sin^-1((√10±1)/√20)
θの解は3個

No.3 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/15 13:48

2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0 (0≦θ≦π)　…(1) の解の個数は

　y=f(θ)=2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ) …(2)
と
　y=k …(3)
の縦軸y,横軸θのグラフの範囲(0≦θ≦π)における交点の数に等しいから

(2)のグラフを範囲(0≦θ≦π)で描いて、y=1とy=-1.9との交点数を調べればよい。

添付図のグラフより
(2)のグラフ（黒線）と直線y=1(赤線)の交点数は1個、
(2)のグラフ（黒線）と直線y=-1.9(青線)の交点数は3個
と判る。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/07/15 10:15

少し詳しく書くと

＞(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθだから、与式は
(sinθ+cosθ)^2-2(sinθ+cosθ)-k-1=0となるので、
sinθ+cosθの二次方程式として解の公式で解くと
sinθ+cosθ=[2±√{4-4(-k-1)}]/2=1±√(2+k)
f(θ)=sinθ+cosθとおくと
f'(θ)=cosθ-sinθ
cosθ＞sinθ、すなわち0≦θ＜π/4でf(θ)は増加
cosθ=sinθで、すなわちθ=π/4でf(θ)は極大
cosθ＜sinθで、すなわちπ/4＜θ≦πでf(θ)は減少
θ=0でf(θ)=1
θ=π/4でf(θ)=√2
θ=π/2でf(θ)=1
θ=3π/4でf(θ)=0
θ=πでf(θ)=-1
以上からf(θ)のグラフを描くと分かり易い。
k=1の場合、sinθ+cosθ=1±√(2+k)=1±√3となるが
1+√3＞√2だから対象外。sinθ+cosθ=1-√3となる
θの個数は、-1＜f(θ)=1-√3＜0だから3π/4＜θ＜π
に1個ある。
k=-1.9の場合、sinθ+cosθ=1±√(2+k)=1±√0.1
0.3=√0.09＜√0.1＜√0.16=0.4だから
1＜1.3＜f(θ)=1+√0.1＜1.4＜√2、すなわち
1＜f(θ)＜√2を満たすθは0＜θ＜π/2に2個ある。
又、上式から-0.3＞-√0.1＞-0.4だから
0.7=1-0.3＞f(θ)=1-√0.1＞1-0.4=0.6、すなわち
0.7＞f(θ)＞0.6を満たすθはπ/2＜θ＜3π/4に1個ある。
よって、k=-1.9の場合に解の個数は合計3個になる。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/14 21:07

ｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘ＝ｘとおくと、

２ｓｉｎΘｃｏｓΘ＝ｘ＾２－１
これで与えられた方程式はｘの二次方程式になり、ｘが求められます。

次にｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘの増減表を作り、その値が上記で求めたｘの値
になる点がいくつあるか調べます。いくつあるかが判ればいいので、
Θについて解く必要はありません。