量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解

定常状態シュレディンガー方程式を球座標に変換し、角度方向の波動関数（球面調和関数）を求める際に、球面調和関数の微分方程式をさらに極角θと方位角φで変数分離して、それぞれの微分方程式を解きます。そこで周期的境界条件をかんがえて磁気量子数mが整数になることを念頭に置きながら、方位角成分Φ(φ)の微分方程式Φ"=m^2Φを解くことを考えるのですが、ここで大抵の教科書やWEBページにはこれの解は(1/√(2π))exp(+imφ)であるとしか書かれていません。
こういった2回線形微分方程式の一般解はexp(+imφ)とexp(-imφ)の線形和で表せるはずであって、理由無くexp(-imφ)を落とすことはできないはずです。なぜexp(-imφ)成分を落としているでしょうか。いろんな教科書やWEBページを参照してみましたが、解説しているところが見つかりませんでしたので、何卒回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/02 14:33

exp(±imφ) は cos(mφ), sin(mφ) に対応します。

この一般解は
　Acos(mφ)+Bsin(mφ)={√(A²+B²)}sin(mφ+α) , tanα=B/A
となるが、位相差αは、今回の問題の球座標系について、どの位置
にあろうと意味はない。

したがって、φの基準を取り直せば α=0 としても一般性は失わず、
簡単になる。

この回答へのお礼

なるほど、方位角の等方性からφの取り方には自由度があるのですね。

お礼日時：2022/07/14 12:47

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2022/07/02 15:54

球面調和関数を求めようとしているのなら、一般解ではなく特殊解を求めようとしているからです。

mが負である事を許容すればexp(+imφ)の形の解だけで、exp(-imφ)の方もカバーできるので別途考えないだけ。