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半円周上を移動した時の力がする仕事


工学部機械科の一年生です。、
地表付近で重力がする仕事を考える。水平方向にx軸、鉛直方向にz軸をとる。z方向の基本ベクトルをe(z)とすると、質量mの質点に働く重力は
F=-mge(z)
で与えられる。この質点が点A(0,+a)から点B(0,-a)まで、3通りの経路C1、C2、を通って移動する時、重力がする仕事W1、W2、を求めよう。
ここで、C1は点Aから点Bまでz軸上を移動する経路、Cは点Aから点Bまで半径aの円周上を移動する経路である。

この問題でどの経路を通っても仕事は等しいというのはわかるのですが、W2を計算で求めたいです。
おそらくW2のような計算は高校物理ではなかったので、こういった問題を解けるようにしたいのでW2の求め方を教えていただけると幸いです。

よろしくお願いいたします!

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A 回答 (4件)

仕事の定義をしっかりと確認しましょう。



点s(x,y)→において働く力F(S)→が経路l (始点s0→,終点s1→)でする仕事Wは
W=∫_l(s0→→s1→) F(S)→・ds→
となります。
・はベクトルのスカラー積(内積),ds→はs→における経路lの接線方向の積分変数(線素)です。
全てはこの式から計算することになります。

この計算を行う場合、l上の点s→とds→を計算できるように表すことが必要となります。通常は適当な座標でs→を表しその座標要素で表現します。

今回の場合、座標として角度を使う方が良いでしょう。
O(0,0)から見た俯角θを座標として使いましょう。x軸よりも上なら正、下なら負の値を持つx軸となす角度をとります。
位置θの時の半径aの半円上の点sの座標はs(a*cosθ,a*sinθ)となります。
sをθで微分すると
ds→/dθ=(-a*sinθ,a*cosθ)  これからds→=dθ(-a*sinθ,a*cosθ) と表せます。
これを定義の式に入れると

W=∫[θ:-π/2,π/2] F(S)・dθ(-a*sinθ,a*cosθ)=∫[θ:-π/2,π/2] -mge(z)・dθ(-a*sinθ,a*cosθ)
=∫[θ:-π/2,π/2] -amg*cosθ・dθ

となります。

このような積分(線積分)は使えるようになってください。

このようにして計算した仕事が経路によらないことを確認するにはさらにベクトル解析の知識が必要となります。
(ストークスの定理を使うと簡単に示せます)
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線積分で計算するだけ。


ここでさらっと書くのは無理なので
多変数関数の微積分を普通に学んで
王道を進んで下さい。

高校の微積がちゃんと出来るなら、
覚えることはそれ程多くないです。
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普通、鉛直方向はY軸をとるもんなんだけどなあ(´・ω・`)


他にも表現がいろいろとアレだけど置いといて…

・・・本題・・・

経路なんて関係ないぞ。
位置…すなわち高さの差だけがこの場合は効いてくる。
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地上での重力は保存力なので、A→Bの重力がする(される)仕事は経路によりません。



大学で学ぶのはそんなことかな。
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