2つのバネに挟まれた物体の振動などの物理の問題です。 図1-1 のように、2つのバネと1つの質点が直

2つのバネに挟まれた物体の振動などの物理の問題です。

図1-1 のように、2つのバネと1つの質点が直列に連結している系を考える(左から,バネ1・質点・バネ2)。ここで、バネ1の左端およびバネ2の右端は壁に固定されている。質点の質量はm、バネ1,2それぞれのバネ定数は3k,kと与えられている本問題では、連結方向の並進運動のみを許容し,図1-1の矢印の向き(図右向き)を正の方向とするなお、0は原点である以下の問いに答えてください。


(1)図1-2において、(i)の自然状態から右側の壁を正の方向にlだけ静かに伸ばすと,質点の変位がyとなった状態で系が釣り合い静止した。その後、(ii)のように系を静かに床と接触させた。ここで特に断らない限り、系の状態として、両端壁は床に固定され質点と床には摩擦が存在する。

(a)(i)の状態において、lを用いて質点の変位yを表してください。

(b)(ii)の状態から、(iii)のように質点が床と接した状態で右側の壁をさらに正の方向にdだけ静かに伸ばし再び床に固定する。質点が運動せず静止する場合、k,dを用いて質点の静止摩擦力Fを表わしてください。ただし、R>0となるよう定義する。

(c)(b)の手順においてdを徐々に大きくしていくと、d<=wの条件では質点の静止状態を保てたが、d>wの条件では保てなくなった。質点と床の静止摩擦係数をμ、重力加速度をgとした時、k,m,g,μを用いてwを表して下さい。



(2)最大静止摩擦が働く状態(d=w)において、質点と床との摩擦が突然消失し質点は運動し始めた(以後、摩擦は働かない)。ここで、図1-3のように、摩擦が消失してからの時刻tを導入し、質点の変位をx(t)と定義する。

(d) x(t)およびk,m,l,g,μを用いて、質点の運動方程式を求めて下さい。必要に応じて時間t、および時間微分記号d/dtを用いて下さい。

(e) (d)で求めた運動方程式を解き、k,m,l,g,μ,tを用いて変位x(t) を表わして下さい。ここで、x(t) の最終的な表現に任意定数を含めないようにして下さい。また、求めた解より、質点は単振動として振る舞うことを示すとともに、その時の振幅,周期,平衡位置を示して下さい。

質問者からの補足コメント

• (1)
  (a) 3ky=k(l-y) 3ky=kl-ky 4ky=kl 4y=l y=(1/4)l
  (lは小文字のLです。)
  
  (b) 3ky+F=k(l+d-y) F=(l+d-4y)
  
  (c) F=μmgとして
  3ky+μmg=k(l+w-y)
  3ky+μmg=kl+kw-ky
  kw=4ky+μmg-kl
  w=(μmg/k)+4y-l
  ここまでは合っているかどうか確かめてほしいです。
  
  (2)
  (d)はm(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-x)-3x
  m(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-4x)
  と思ったのですが、問題文のx(t) k m l g μt d/dtの文字だけを使って表すことができないです。

    補足日時：2020/08/30 22:56

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/31 11:05

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞(1)
＞(a) 3ky=k(l-y) 3ky=kl-ky 4ky=kl 4y=l y=(1/4)l
＞(lは小文字のLです。)

合っています。

＞(b) 3ky+F=k(l+d-y) F=(l+d-4y)

（問題文は「ただし、R>0となるよう定義する」ではなく「F>0」ですね？）

これでは不完全。しかも最後の式では「k」が抜けている。
(a) から y=(1/4)L なので
　F = kd　　　　①

＞(c) F=μmgとして
＞3ky+μmg=k(l+w-y)
＞3ky+μmg=kl+kw-ky
＞kw=4ky+μmg-kl
＞w=(μmg/k)+4y-l

「F=μmgとして」は、「最大静止摩擦力をF=μmgとすれば」ということですね？
①から
　μmg = kw
より
　w = μmg/k　　　②
です。

あなたの式で y=(1/4)L とすればそうなりますね。
（ただし、問題文には y を使ってよいと書いてないので、このように置き換えて整理した結果を書かないといけません。y は未知数ではなく (1) で既知数になているのですから）

＞(2)
(d)はm(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-x)-3x
m(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-4x)
と思ったのですが、問題文のx(t) k m l g μt d/dtの文字だけを使って表すことができないです。

運動方程式を立てる前に、きちんと「働く力」を整理しないといけません。
図1-2 (i) をつり合いの位置とすると、図1-3 最下図の状態では
・左のばねの復元力：Fa = -3kx　（左向き）
・右のばねの復元力：Fb = k(L + w - x)　　（右向き）
合力は
　F = Fa + Fb = -3kx + k(L + w - x) = k(L + w - 4x)
従って、運動方程式は
　m*d²x/dt² = k(L + w - 4x)
　　　　　　= k(L + μmg/k - 4x)　　←②を使って w を置き換え　　　　　③

「d²x/dt²」は「d(dx/dt)/dt」のことですから、問題文の「x(t)およびk,m,l,g,μを用いて」「必要に応じて時間t、および時間微分記号d/dtを用いて」を満足すると思いますよ。

(e) ③は
　d²x/dt² + (4k/m)[x - L/4 - μmg/(4k)] = 0　　　　④
という「2階微分方程式」です。
このとき方は分かりますね？

u = x - L/4 - μmg/(4k)
とおけば
　d²x/dt² = d²u/dt²
ですから、④は
　d²u/dt² + (4k/m)u = 0　　　④'
となります。要するに「ばね定数 k のばねと、ばね定数 3k のばね」を合成した「ばね定数 4k のばね」の振動ということです。

④' の一般解は（解き方は省略）
　u = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt)
（ω = √(4k/m) = 2√(k/m)、C1, C2 は任意の定数）
となります。
u を元に戻せば
　x = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt) + L/4 + μmg/(4k)　　　　⑤

初期条件から、t=0 のとき x=y=(1/4)L なので
　x(0) = C2 + L/4 + μmg/(4k) = (1/4)L
→　C2 = -μmg/(4k)
よって⑤は
　x = C1*sin(ωt) - [μmg/(4k)]*cos(ωt) + L/4 + μmg/(4k)　　　⑤'

かつ、
　v = dx/dt = C1*ω*cos(ωt) + [μmg/(4k)]*ω*sin(ωt)
で、t=0 のときに静止状態から動き出したので v(0)=0 であることから
　v(0) = C1*ω = 0
→　C1 = 0
よって⑤'は
　x = -[μmg/(4k)]*cos(ωt) + L/4 + μmg/(4k)
　　= L/4 + [μmg/(4k)][1 - cos(ωt)]　　　　　　　⑤''

これが求める解であり、
・振幅：μmg/(4k)
・周期：T = 2パイ/ω = パイ√(ｍ/k)
・平衡位置（振動の中心位置）：L/4 + μmg/(4k)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/30 22:38

あなたはどこまでできて、どこまで自信があって、その上で何が・どこが分からないのですか？

内容からすると大学の力学かと思いますが、微積分は使えますか？