トンネルの中の質点

球形の星（密度ρ：一定，半径R）の内部にトンネルの最深部が星の中心からR/2である直線状のトンネルがある。そのトンネルに沿って質点（質量m）が運動することを考える。この時に、最深部を原点としてトンネルに沿ってx軸を取ったときに質点に働く力のx成分をxの関数として表したいです。

質点に作用する万有引力がdivF = - 4πGρmだとどのようになりますか？

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/26 12:54

#3 さんの ② のトンネルで、最深部（最も星の中心に近いところ）の中心との距離（半径）が R/2 ということかと思います。

その場合には
　(R - d)^2 = x^2 + (R/2)^2
なので
　F = GMm{√[x^2 + (R/2)^2]}/R^3
星の質量を
　M = ρ(4/3)πR^3
で表わせば
　F = Gρ(4/3)πR^3･m{√[x^2 + (R/2)^2]}/R^3
　　= (4/3)πGρm{√[x^2 + (R/2)^2]}

その「x 成分」は、F * {-x/√[x^2 + (R/2)^2]} なので
　Fx = -(4/3)πGρmx　　　　①


これを、与えられた万有引力の式から求めてみましょう。
万有引力は星の中心を向きますから、星の中心を原点とした極座標で考えれば（トンネルと星の中心を含む「2次元」で考えればよい）、θ方向の成分はゼロなので
　div(→F) = (1/r^2)d(r^2･Fr)/dr
これが
　div(→F) = -4πGρm
で与えられていることから
　(1/r^2)d(r^2･Fr)/dr = -4πGρm
→　d(r^2･Fr)/dr = -4πGρmr^2
→　r^2･Fr = -(4/3)πGρmr^3 + C
r = R/2 のとき
　Fr = -(1/8)GMm/(R/2)^2
より
　C = 0
従って
　Fr = -(4/3)πGρmr
よって、2次元極座標で
　→F = (-(4/3)πGρmr, 0)

これをトンネルの最深点を原点とし、トンネルが x 軸上になるように直交座標をとれば、
　→F = (Fx, Fy)
とすれば Fx = |→F|cosθ = (-x/r)|→F| なので
　Fx = -(4/3)πGρmx　　　　　②
で同じ結果が得られます。

トンネル内では「x方向」の1次元にしか運動ができないので、①あるいは②の力が働く運動は「x 軸上の単振動」になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2024/06/26 23:22

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/26 09:12

重カにもガウスの法則が使えるので、

質点にかかる重カを求めるのはかんたんです。。

地表からの深度をdとすると
M=(4/3)πR^3・ρとして
F=G{(R-d)/R}^3・Mm/(R-d)^2
=G{(R-d)/R^3}Mm

質問からトンネルの向きが不明なので、これ以上は答えられません。
①表面から真っ直ぐ中心にのびるトンネル？
②表面の2点を真っ直ぐ結ぶトンネル？

①ならR-d=R/2+x と置けば求まります。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/06/26 23:22

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/06/25 23:28

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/93834.html の回答3とそれに対するコメントのところに、類題に関する結果がチャチャッと書いてあります。ずいぶん昔だなあ。

No.1 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/06/25 23:09

球形の星の内部でトンネルに沿って質点が運動する場合、質点には3つの力が働きます。

重力（球形星の中心からの距離に比例する）、遠心力（質点の運動による力）、そしてトンネル壁からの力です。これらの力のx成分を求めるには、質点の位置に応じて各力のx成分を計算し、合計すればよいです。

重力のx成分：質点と星の中心との間の距離をrとすると、重力のx成分は -G * M * m * x / r^3 です。ここで、Gは万有引力定数、Mは星の質量です。

遠心力のx成分：遠心力は質点の運動によって生じる力で、x軸に垂直なのでx成分は存在しません。

トンネル壁からの力のx成分：トンネル内部での力は球形星の密度によって決まります。トンネル内の部分質量dmが質点に働く力は -G * dm * m * x / r^3 です。

したがって、質点に働く力のx成分F(x)は以下のように表されます： F(x) = -G * M * m * x / r^3 - G * dm * m * x / r^3

ここでdmはトンネル内の部分質量であり、dm = ρ * dV です。dVはトンネル内の微小体積です。

最終的に、質点に働く力のx成分を求めるためには、質点の位置x、星の半径R、星の質量M、星の密度ρなどのパラメータに関する具体的な値が必要です。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/06/26 23:22