質点系の運動方程式の導出につきまして

すみません。質点系の運動方程式の導出で腑に落ちないことがあります。

系の中の質点miとmj（i!=j）を考えたときに、これらの間でやり取りされる内力fijとfjiについて、fij=-fjiがなりたつので、足し算すると、内力については総和が0になるという計算を行うかと思います。
今は簡単のために、二個の質点しか考えてませんが、数多く存在する質点から任意に選んだ二個と考えてください。

この内力を足して、作用・反作用でキャンセルして0になるという考え方なのですが、ちょっと理解不足なのか、疑問に思うことがあるのです。

それは、miとmjは異なる質点なのに、それらに作用している力を足し算することにそもそも意味があるのか？という素朴な疑問です。
もしかしたら、高校の物理でも行ってる操作なのかもしれませんが、改めてきちんと考えてみると、意味が分からなくなりました。同一の質点に同じ大きさで向きが逆の力が働いていて、合力が0になるというのであれば、その力の足し算には一つの質点に働く力が総和として0になっている（つまり、この質点に働く力が総和として釣り合ってる）と、
素朴に理解できると思うのですが、異なる質点に作用する力の総和を取ることが、意味を成してないように感じるのですが

独学で勉強しています。おかしなことを聞いていたらすみません。

質問者からの補足コメント

• 

  式変形ありがとうございます。
  
  私の疑問はもう少し素朴なものになります。
  ある一つの質点に作用する力の総和を考えることは意味があると思うのです。結果、釣り合ってれば速度が維持されますし（静止を含めて）、釣り合ってなければ、加速度が生じるかと思います。
  
  上記の計算において、fijとfji=-fijを足し算しますよね？しかし、fijとfjiは作用している質点が異なるかと思います。（片方はmjから、mi。もう一方はmjからmi。作用・反作用で大きさは同じで逆向きなのですが、作用している質点がそもそも異なる。）
  
  このような足し算に何故意味があるのか？ということをお聞きしたかったのです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/23 22:24

• 各質点の運動方程式
  mi・(ri..)=fi + fij 式 1
  (mi、riは各質点の質量、位置ベクトルとします。fiは質点系の外部からの力、fijは質点mjから受ける力とします。作用・反作用でmjはmiから同一作用線上にfji=-fijを受ける)
  から、riを求めた後で、
  重心の定義式であるrg=Σi(mi・ri)/M
  (ここでM=Σi(mi))
  に代入して重心運動を求めた結果と、
  
  重心rgに仮想的な質量M=Σi(mi)を考え、これに、全てのi,j(j!=i)についてのfiとfijが、あたかもMに作用している(実際には各質点が作用点だけど、rgにあるMが全てのfiとfijの作用点と仮想して考える。)として求めた重心rgの運動が一致するということでしょうか？
  
  つまり、式1の質点ごとの運動方程式の和を取ることは、このような仮想質点Mの運動を求めることに相当している。
  続

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/29 14:38

• 続き
  このような仮想運動の結果が、初めに書いたように個々の方程式から位置を求めた後で、重心定義から計算した結果に一致する。
  
  ちなみに、この結果はfijとfjiが作用・反作用でキャンセルして、外力fiの総和だけに依存した運動になりますね。
  
  このような理解で良いでしょうか？
  
  (独学のために、細かい議論に抜けや、理解に粗が多いに存在しうると思ってます。
  これをお読みの他の学習者の方は、あくまでも私個人の到達した理解として、不備があるかも知れないことを念頭にしてください。他の学習者さんに誤った理解を与えたくありません。)

    補足日時：2022/07/29 14:47

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/24 03:12

質点の運動を記述する方法というのはいろいろな方法がありえて, 単純に「各質点の運動を個別に記述する」こともできるし「『全体の重心の運動』と『各質点の (重心に対する) 相対的な運動』に分離して記述する」という方法もある. そのうち後者の方法をとるなら, 質問文にあるように「異なる質点に作用する力の総和を取る」ということが必要となる.

あるいは剛体の運動を考えてもいいかな.

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/23 22:45

またまた意味不明ですが。

質点miの運動方程式は
　miai=Fi+Σ[k]Fik
系の運動方程式は
　Σ[i]miai=Σ[i]Fi+Σ[i]Σ[k]Fik=Σ[i]Fi+0
ここで、系の重心の加速度をA、系の全質量をMとすれば上式は
　MA=Σ[i]Fi
となり、系の運動(方程式)は外力のみで決まります。

という意味がある。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/23 22:08

よくわからないのですが、内力の和 Fが0となることを示します。

　F=Σ[i]Σ[k] Fik , Fik=0 (i=k) , Fik=-Fki (i≠k)・・・・・①
です (最後の式は作用反作用)。

和の順序を変えれば(列から始めても行から始めても同じ)
　F=Σ[i]Σ[k] Fik=Σ[i]Σ[k] Fki
となる。すなわち
　F=(Σ[i]Σ[k] Fik+Σ[i]Σ[k] Fki)/2={Σ[i]Σ[k] (Fik+Fki)}/2
　　={2Σ[i] Fii+Σ[i≠k] (Fik+Fki)}/2

①から
　F={2Σ[i] 0+Σ[i≠k] 0}/2=0

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/23 21:19

「miに働く力とmjに働く力を足している」ではなくて単純に「miに働く力とやはりmiに働く力を足している」と考えれば分かりやすいと思います。

そもそも作用反作用の法則は同じ点に働く力についての法則ですから、miに働く力とmjに働く力を作用反作用の法則で比べる事はありません。