次の力学の問題を教えてください。正答は5.なのですが、何故そうなるか分かりません。点Bで速度がゼロと

次の力学の問題を教えてください。正答は5.なのですが、何故そうなるか分かりません。点Bで速度がゼロとし、点Bの位置エネルギーは経路によらずmg(2r)
。よって力エネ保存により

1/2 mv^2 = mg 2r
となると思うのですが、これを解くと4.になってしまいます。どこの理解が間違っているのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/05 15:26

力エネ保存により

1/2 mv^2 = mg 2rからV0=√4gr
>>>これは、この初速でポテンシャルとしては高さ2rにまでは上がれるということを示しています。でもその場合果たして円運動になっているでしょうか→不明です。
別の見方をすれば、Bで速度が０であれば円運動してBに到達したことになるかという事です。
（詳しく計算すれば円運動してBに到達する前に球面を離れてしまうという結果が出ることでしょう。→V0=√4grで質点が球面から離れるのはどこか？という出題もあるかもしれないので、ご自分で確かめておくとよいでしょう！）

円運動になっているためには向心力が存在する必要があります。
そこで、鉛直面内での円運動で定点に到達することを調べるには
向心力に関する式を使います。

Bにおける円運動の向心力はmv²/rで、Bにおける速さをV、垂直抗力をNとして
半径方向の運動方程式はmv²/r=mg+N・・・①
力学的エネルギー保存則から1/2mv₀²=1/2mv²+2mgr・・・②
①②からVを消去（①よりmv²=mgr+Nrを②へ代入)してN＝の形に整理すると
N=(mv₀²-5mgr)/r
Bでの垂直抗力が0以上ならば円運動してBに到達したと言えるから
N=(mv₀²-5mgr)/r≧0
これを解いて
v₀≧√5gr
答え５となります！＾＾

途中式が違っている場合は訂正しておいてください。考え方は示した通りですから、これに沿って立式、計算するだけです。

この回答へのお礼

垂直抗力がゼロより大きいことがポイントなのですね！ありがとうございました。

お礼日時：2018/06/06 17:52

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2018/06/06 14:28

No.3の補足です。

選択肢4.の初速だとNo.3にある式を使って、cosθ＝－2/3のところ
つまり約θ＝132°のところでN=0になるのでここから質点は球面から離れて放物線運動します。
したがってこの放物運動の最高点でも水平方向の速度成分が残るので
Bの高さまでは行かず、そのまま球内を落下します。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/06 08:41

軌道にしっかり支えられて昇って行くのであれば、B点で丁度速度が

0になるように初速を決めて良いのですが、それでは内壁から途中で
質点が離れてしまいます。
B－球の中心―質点 のなす角度をθとすると
質点は壁面に対して垂直方向へ、mgcosθだけ重力を受けます。
これが遠心カ mv^2/rを上回ると質点は壁面から離れてしまいます。

vは質点が上へゆくほど小さくなり、cosθは上へゆくほど大きくなるので、
B点(θ=0)で
mv^2/r≧mgcosθ=mg
なら、質点が内壁を離れる心配はなくなります。

両辺に(1/2)r をかけると
(1/2)mv^2≧(1/2)mgr

つまり、初速で最低限 (1/2)mgrだけ余分にエネルギーが必要なのです。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/05 17:44

ひとこと忘れました、

鉛直面内での円運動で、円軌道から離れないということが絡んでくる場合
本問のように球面からの垂直抗力が0以上
紐で引っ張られて回転しているような場合は垂直抗力に置き換えて張力が0以上
という条件は必須と思いますよ！＾＾

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2018/06/05 15:10

手元の力学書で調べたんですが...。

この質点の運動において鉛直下向きに対して球の中心と質点を結ぶ線分がなす角をθとすれば
質点の球面からの垂直抗力はN＝(ｍｖ₀²/ｒ)＋ｍｇ(3cosθ－2)となります。
球面に沿って上って行くとちゅうでN=0になっては球面に沿って上っていけなくなるので
質点が頂点Bにきたとき、つまりθ＝πのときN≧0でなければならない。
これを上の式に入れれば選択肢5.が出ます。

No.2 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/06/05 14:59

質点がBに達した時に、球から離れないだけの遠心力が必要だからではないですか。

Bでの質点の速度をvとすると、遠心力
m(v^2/r)=mg
(1/2)mv^2=(1/2)mgr
従って
(1/2)mv0^2=2mgr+(1/2)mgr
v0=√(5mgr)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/05 14:49

単純に「斜面を登る」問題ならそれでよいですが、球面だと半分より上に登ると重力で下に落ちます。

下に落ちないためには、遠心力で球の内面にへばりつかないといけません。

つまり

＞点Bで速度がゼロとし、

という前提があり得ないのです。

落ちないためには、B点であっても
　遠心力 ≧ 重力 mg
でないといけません。

最上部での速さを vp とすると、遠心力は
　ｍrω^2 = m(vp)^2 /r ≧ mg
なので
　vp ≧ √(rg)

従って、点Ｂでは
・位置エネルギー：mg * 2r
にプラスして
・運動エネルギー：(1/2)m(vp)^2 = (1/2)mgr
を持たないといけないのです。

従って
　(1/2)m(v0)^2 ≧ mg * 2r + (1/2)mgr
よって
　(v0)^2 ≧ 5gr
→　v0 ≧ √(5gr)