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今読んでいる解析力学のテキストにリウビルの定理というのが
でてきました

リウビルの定理は、要は

ハミルトニアンの位相空間において、
幾つかの初期条件の違う点を代表点として選んだときに、
それらの点が時間経過とともにそれぞれ違った軌跡を描いても
点によって囲まれる領域の面積は不変である

ということと理解しました


しかし、初期条件の選び方(つまり位相空間内で点のスタートポイントをどこに決めるか)によっては、点の軌跡がそれぞれ定性的に異なることもあるかと思います。例えばある点はポテンシャルに閉じ込められて位相空間内のある箇所をぐるぐる回ったり、またある点は鞍点の流れに乗って遠くへ飛んでいったりと、、、

普通に考えて、一箇所でぐるぐる留まり続ける点と、一方で遠くへ飛んでいってしまう点から囲まれる領域の面積が不変であるはずがないと思うのですが、、飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、


例えば(手元のテキストの問題そのままですが)

外力 F(q) = -q+q^2 のもとで1次元運動を行う質点
のハミルトニアンは
H = p^2/2m + (1/2)q^2 - (1/3)q^3
ですが、これの位相平面図は
原点(p=0,q=0)付近ではポテンシャルに囲まれて円を
描いていますが、ポテンシャル極大の外側では
外へ飛ばされるような軌跡になります


このような、運動が定性的に異なるような点を代表点として
選んでも、その点によって囲まれる領域は不変というのが
感覚的にどうも納得できません


なにか誤解をしていますでしょうか?

A 回答 (2件)

>飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、



そう思う理由をどうぞ。

この回答への補足

あっすいません、、
幾つかの代表点を直線で結んだ多角形の領域面積が不変であると
勘違いしていました

そうではなくて、代表点の集合からなる領域が不変という
ことですね

補足日時:2008/10/31 21:56
    • good
    • 1

えっと、仰る例で、「位相空間の2点の距離が離れる」のが正しいのかどうか分からなかったので(位相空間で距離をどう定義するのか分りませんが)、そういう結論になった理由を聞きたかっただけなんですがね。

。。

「領域が不変」というのをどういう意味で使ったのか分りませんが、リウビルの定理の主張は、位相空間上の面積(体積)が不変という事でよいですよ。

まぁ、仮に「伸びる」という事が本当だったとしても、その分だけ「細く」なっていれば、面積は不変になり得ますよね。

この回答への補足

ありがとうございます

>その分だけ「細く」なっていれば、面積は不変になり得ますよね

仰るとおりです、領域の面積の意味を誤解していました。
これですっきりしました。

補足日時:2008/11/01 09:47
    • good
    • 0
この回答へのお礼

すっきりしました

お礼日時:2008/11/01 09:50

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Qリウビルの定理って?

今解析力学を勉強しているんですが、たまに「リウビルの定理」とか「リュービルの定理」とか言う物が出てきます。ネット上でそう言う単語があると言うことだけは分かったのですが今持っている教科書には何にも書いてないし…
誰か、リウビルの定理がどんな物か知っている人が今したら教えてください。

Aベストアンサー

こちらをどうぞ。

参考URL:http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/cosmology/webfiles/cosmology-web/node136.html

Q物理学を学んだ学生の就職について

物理学を学んで修士課程を終えたとして就職でどうのような選択肢がありますか?

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まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

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また、物理の中での理論と実験の違いですが、私の知る限り、理論だと実験よりも会社には不利ということはないと思います。それには二つ理由があります。一つは現代の産業の現状は、IT系に重点が移ってきていて、理論系なら殆どの場合コンピューターをかなり使いますので、その面でかえって有利であること。もう一つは測定器や作業機械の使い方などは、実験系だからといって同じ機械を使うとは限りませんし、どちらにしても入社後に勉強するケースのほうが多いと思われるからです。

企業の中で、理学部出身の人が工学部出身の人よりも少ない主な原因は、日本中で工学部の定員が非常に多いことでしょう。私の見る限り、卒業生が就職で苦労するケースは、分野というよりも、むしろ個々人のパーソナリティに依ることが多いように思われます。企業では周りの環境に柔軟に順応してくれる人、しっかり意思疎通の出来る人を好むでしょうし、当然、企業の利益にかなわないことをしたいという人は、どんな学部の卒業生でも取らないでしょう。


次に具体的な現状を書きます。どこの大学とは、もちろんここでは書けませんが、卒業生の就職先はやはりIT係を中心に製造業が多いです。それは元々日本の産業構造自体がIT係に重点が移ってきているためだと思います。一言にIT係といっても、かなり幅が広いですし、IT係以外の製造業も多いです。どんな製造業でも最近はコンピューターはかなり使うと思われます。

製造業の中には当然、民間企業の研究所に就職するケースもあります。民間企業の研究所では、ごく一部の例外を除いて、その企業の利益に直結することを研究します。その内容は、物理学に基礎を置いた研究もありますし、物理学とは直接の関係のない研究をすることもあります。物理の卒業生はどちらの方向にも進んでいます。ただし「直接の関係のない」と言っても、物理はあらゆるものの基礎になりますから、殆どのものは何らかの関係はあります。

次に多いのは、公務員や中学高校教諭だと思います。その場合は、もちろん、公務員試験の勉強や、教員免許をとり教員採用試験の勉強をする必要があります。

製造業に比べれば、数は少なくなりますが、商社や金融関係に就職した人もいます。また特殊な例ではパイロットになった人もいます。


せっかく物理学を勉強したのに、就職した後に直接に関係のないものをやるのは勿体ないとか、しんどいとか思われるかもしれません。しかし、ANo.3さんも書かれているように、物理学というのは、あらゆる学問や科学技術の基礎であり、また、知識そのものを使わなくても、物理学を学ぶ過程で習得した「現実に根ざした論理的思考」というのは、どんな分野にも共通に必要なものなのです。ANo.4さんも書かれているように、「仮説・検証・修正」という物理学の方法は、あらゆることに適用が可能です。

また、「知識の陳腐化」ということがあります。技術というものは日進月歩ですから、大学でどんな分野の学問をした場合でも、どのみち入社後にも勉強をし続けていかないといけません。しかし理学系と工学系の違いは、理学部で勉強したことは、時間が立って成り立たなくなるようなことではないというところです。物理で言えば、力学や電磁気学などの知識が陳腐化することは未来永劫ありません。それらは自然界の法則だからです。ところがある特定の「技術」というものは、多くの場合数年で陳腐化してしまいます。

さらに、逆に基礎的な知識が必要になったときに、技術だけを学んでいた人が基礎に立ち戻って勉強しなおすのは、大変なエネルギーが必要になります。一度でも基礎を十分に勉強したことがある人は、忘れてしまっていても、少し勉強すれば思い出すことができます。基礎をしっかり勉強した上に応用を勉強するほうが、応用だけを勉強しているより安心です。

これは教育関係に進む場合も同様だと思います。やはり理学部でしっかりその分野の内容を勉強しつつ教員免許も取るほうが、教育学部で教員免許をとるよりも好ましいと、個人的には思っています。(両方やるのは確かに大変ですが。)


最後に、修士課程に進むメリットについて付け加えます。学部で、およそ力学、電磁気学、量子力学、熱統計力学を学習するわけですが、それは学問の基礎の部分です。卒業研究~修士課程で、研究(らしきもの)に手を染めることにより、その基礎部分の知識の本当の意味が、より正しく深く理解できます。また、現実の問題を考えることにより、「問題解決能力」も身につけることができます。研究の世界では必要に応じて問題を自分で整理して設定する能力が求められます。誰かがきれいに作った問題を解くだけの話ではなくなってくるのです。そのような能力はどんな分野に就職しても必要とされるものです。大学院ではその部分も学ぶことが出来るはずです。

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
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半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

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こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
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これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

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Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
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   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

Qハミルトニアン の位相空間の軌跡の向き

位相空間の向きはどのように求めたらいいのでしょうか。
正準運動方程式をどのように使えばいいのでしょうか
教えてください

Aベストアンサー

こういう話ですか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=456552

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=456552

Q物理を勉強するための複素関数論

現在物理学科の2年生です。
複素関数論の授業が始まるのですが教科書の指定はありません。
物理をするうえで必要な複素関数論の勉強をするうえで適している参考書について知りたいです。
数学科の人だけが使うようなものすごく深い内容のものでなくてもかまいません。
量子力学、流体力学などを学ぶ上で必要なレベルの本が知りたいです。
現在、
神保道夫さんの複素関数入門を持っていますが苦戦してます・・・
この本は数学科の人用に作られていると聞きました。
物理を学ぶ学生はこの位の本をやっておくべきでしょうか?
またこの本以外でおすすめの参考書があれば教えてください。

Aベストアンサー

添付URLを見てください。
物理屋さんが書いた複素関数入門です。

写像などの数学的なことは最小限で物理科の自分にはとてもあっていました。

この本は複素数は2次元ベクトルで、複素関数は2次元のベクトル解析だ
という考え方で進みます。
当然ながら流体力学への応用も入っていてお得です。

参考URL:http://www.amazon.co.jp/複素解析と流体力学-今井-功/dp/4535606013

Q部分群になるための必要十分条件

群Gの部分集合HがGの部分群であるための必要十分条件は

(1)HH⊂HかつH^(-1)⊂H
または
(2)HH^(-1)⊂H

であるということがありあすが、
HH^(-1)=Hだけで必要十分条件だと言えますか?

つまり、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH^(-1)=H

は真でしょうか?(⊂でなく=)

できれば証明のヒントもください

Aベストアンサー

>> 最初の五行の命題を仮定しなければH < G <--> HH^-1 = Hは成り立たないのか、
御自分が書いていることの意味を、きちんと理解していますか。
支離滅裂な内容ですよ。
「最初の五行を補題として使わなければ、H < G <--> HH^-1 = H を証明できないのか」なら、一応意味だけは通じますけれど。
もう少し、一生懸命学問なさってください。

ただし、

>> こういうことでしょうか?(確認)
>> H < G <--> HH^-1 ⊂ H <--> HH^-1 = H
>> という論理関係でしょうか?
この部分に関しては、理解できたようですね。
御指摘の通り、それら3つの条件は互いに同値です。
ANo.2 で書いたように、H < G <--> HH^-1 ⊂ H を利用すれば、ほぼ集合論だけで H < G <--> HH^-1 = H を証明できます。
必ず、御自身で証明を完成させてください。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

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Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
僕は、結晶学を勉強している大学生です。
現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
1/d^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2 + l^2/c^2
d, h, k, lの値は既知でa=,b=,c=の式を教えていただきたいです。
また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

> 格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。

これは初等数学の教えるとおり,線形独立な(=異なる面方位の)3つ以上の関係がない限り,どうやっても求まりません。線形独立な式が3つあるなら,三元一次連立方程式を解けばよいだけです。

> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

> 格子定数を簡単に求められるソフト

XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Q理学部物理学科の就職先

理学部物理学科に行きたいと思うのですが、将来どんな仕事に就けますか?またどの大学の理学部がオススメですか?教えてください。

Aベストアンサー

私は、私大の物理学科を卒業して、大学院までいき、博士の学位を得、外国で12年、結婚もせず研究生活に明け暮れ、ようやく41歳の年で、日本の某国立大学に就職できました。

振り返ってみると、結構つらかったです。
どの大学がお勧めかといえば、それは、東京大学か京都大学がいいでしょう。でも、そんなところへは、難しくていけない?じゃぁ、いかなくてもいいと思います。他の回答者が述べていたように、結局のところ自分自身の問題です。

物理学や数学は、スケールが問題です。
人生高々100年です。君が遭遇した物理研究問題が解決されるには、どんな天才でも、500年はかかると知っていたならば、自分の人生を投げうってまで、研究を続ける人はほとんどいないでしょう。いたとしても、それは単なる気違いです。

近年、東大の小柴さんがノーベル物理学賞を受賞しました。君は小柴さんのようになりたいのか?
大きな天体観測装置で、遥か宇宙のかなたからやって来たニュートリノと呼ばれる素粒子を観測したのである。次にまたニュートリノを観測するのに、何百年かかるか分からない。小柴さんは、言いました。「ちゃんと準備をしておけば、チャンスはやってくるものだ。」この言葉は、研究者をとても勇気づけたと思います。

だけれども、私はそうは思わない。科学は、帰納法といって、何度も繰り返して確かめられるものでなければ、ならないのだから。小柴さんの観測は、確かに正しかったかもしれないけれども、それを科学と呼ぶには、早すぎた。何千年も早すぎた。

それを、はや合点して、ノーベル賞を出すほうが、奇跡的だとは思わないかい?もっとも、ノーベル賞は生きてる人間にしか与えられないことになっているらしい。

そうそう、相対性理論の産みの親のアインシュタインは、ノーベル賞をいくつかもらっているけど、相対性理論では、とうとうノーベル賞はもらえなかったんだよ。

。。。というわけで、物理学で新しい発見を目指すのであれば、将来どんな仕事に就けるかどうかなんて、ちっちゃな問題です。というか、関係のないことでしょう。でも。。。確かに、食べて行かないと、研究できません。そういう意味では、それは大切だ。それには、自分の研究の妨げにならない仕事を選ぶことだ。

。。。とにかく、何か自力で(そして人に頼らないで)研究できる能力をつけることだ!発見のできる自分作りをする。。。

。。。だけれども、上の意見は、君が天才研究者だったら・・・・の話だ。。。だから、ちょっと裏腹ではあるが、自分の良い理解者に早く巡り会うことも非常に大切だ。自分よがりの研究者は、無駄な人生を送ってしまうからだ。

ん~。。。大体にして、そういうことをここに「質問」して、「はいそうですね。理解できました。そうします」っていう考えになれると思う?

アインシュタインだって、死ぬまで悩んだと思うよ。

私は、私大の物理学科を卒業して、大学院までいき、博士の学位を得、外国で12年、結婚もせず研究生活に明け暮れ、ようやく41歳の年で、日本の某国立大学に就職できました。

振り返ってみると、結構つらかったです。
どの大学がお勧めかといえば、それは、東京大学か京都大学がいいでしょう。でも、そんなところへは、難しくていけない?じゃぁ、いかなくてもいいと思います。他の回答者が述べていたように、結局のところ自分自身の問題です。

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