電磁気学での質問です。 電荷のない空間ではポテンシャルの極大点, 極小点が存在しないことを証明せよ.

電磁気学での質問です。


電荷のない空間ではポテンシャルの極大点, 極小点が存在しないことを証明せよ.

解) ポテンシャルの極大点または極小点があると、 その十分近くの閉曲面ではポテンシャル の勾配が負または正の定符号で、電界の法線成分 E_n が正または負の定符号になる。 したがって、∫∫ E_n dS が0でなくなり、ガウスの定理によりその曲面の内部に電荷が存在することになる。つまり、電荷のないところでは,ポテンシャルの極大点または極小点は存在しない。


上の解答について、「勾配とE_nが負または正の定符号となる」という点が全くわかりません。

勾配はベクトルだと思うのですが、x,y,z成分すべての符号が正または負になるということでしょうか？また、E_nが正または負の定符号というのも、どの向きが正でどの向きが負なのかも好くわかりません。


ご教授お願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/13 04:48

>x,y,z成分すべての符号が正または負になるということでしょうか？<

●その通り。極点以外(極点では0)の近傍で0でないということ。

>また、E_nが正または負の定符号というのも、どの向きが正でどの向きが負なのか<
●方向は極点近傍の閉曲面の法線ベクトルnの向き。nがどの方向
でも En=E・n が正か負かのいずれか一方という意味。つまり、E
がnの方向と(ほぼ)同じなら En=E・n>0 で逆なら En=E・n<0。


こんなことを言うなら、Φ(x,y,z)が(a,b,c)で極値を持つなら
Φxx(a,b,c), Φyy(a,b,c), Φzz(a,b,c)が0でなく、同じ符号を持つ
という定理から
　ρ/ε=divE=divgradΦ=∇²Φ≠0 → ρ≠0
となる。

この回答へのお礼

なるほど、よく理解できました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2023/05/13 08:01

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/14 08:54

山の山頂では、どの方向へあるいても下るということ。

この場合勾配はgradＶ(V: 電位)のことじゃなくて
極大、極小点から遠ざかる方向を単位ベクトルuとすると
極大、極小点の近傍では

gradV・u

が定符号になるということですね。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2023/05/12 23:04

極大点または極小点と言っているのだからポテンシャルの勾配（＝電界）は正負のいずれかがある。

点を囲む閉曲面（閉曲線）はどのようにもとれるが、ポテンシャルが一定の所を結べば球（円）になる。もし極大点または極小点が存在すればそこには正または負の電荷がある。