電磁気に関しての質問 3次元空間で、(1,0,0)に正電荷qを置いたとき、 (0,0,z)の電位はq

電磁気に関しての質問

3次元空間で、(1,0,0)に正電荷qを置いたとき、
(0,0,z)の電位はq/(4πε_0*√(z^2+1))となりますよね。

このとき、(0,0,z)の電場ベクトルは、電位の勾配をとれば求められると思いますが、電場ベクトルのx,y成分はゼロになってしまいます。

x=1に電荷が置いてあるのにx方向の電場がゼロになることがあまり納得できないのですが、これは正しいのでしょうか？

No.9 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2023/05/01 11:43

>それの勾配を取るやり方はたまたま合っているだけということでしょうか？

z軸上でのz成分が求まる事だけについてはたまたまではありません。

>(0,0,z)の電位はq/(4πε_0*√(z^2+1))
だけ分かっていれば、
∂V/∂z=lim (V(0,0,z+Δz)-V(0,0,z))/Δz
を計算する事はできます。

でも
∂V/∂x=lim (V(Δx,0,z)-V(0,0,z))/Δx
は計算できませんよね。

まぁ、理屈が分からないのであれば、微分する前に具体的な座標を代入するのはNGと思っておけば良いでしょう。

この回答へのお礼

よく理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2023/05/02 09:33

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 19:53

#2のとおり

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2023/04/30 19:29

例えば

>(0,0,z)の電位はq/(4πε_0*√(z^2+1))となりますよね。

を使うと、(0,0,√3)の電位はq/(8 πε_0 )となります。
これはzを含まないのでzで微分すると0になります。
よって、(0,0,√3)における電場のz成分は0になります。

さて、こうやってz成分すらも0になるという結論が出せてしまうのですが、
この論証の何処が何故誤りなのかわかりますか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なるほど、確かにそうですね。では(0,0,z)の電位を求め、それの勾配を取るやり方はたまたま合っているだけということでしょうか？

お礼日時：2023/04/30 19:37

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 19:23

そうです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

厳密に求めるとするとどのような解法になるのでしょうか？

何度もお答え頂き申し訳ございません。ご回答お願い致します。

お礼日時：2023/04/30 19:26

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 19:16

たとえば、y方向の電界というのは Vのy方向の傾きです。

V(x,y,z)で y=0 とすると、Vの y方向の変化が消えます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

それでは、一人目の方の求め方は厳密には正しくないということでしょうか？

お礼日時：2023/04/30 19:19

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 19:04

違います。

電界が0になる場合があります。あくまでも、変化の情報が
消えることです。

この回答へのお礼

申し訳ございません。情報が消えるというのがいまいちよく分かりません…

私は一人目の方のように電場を求めたのですが、このやり方での「変化の情報が消える」というのはどういうことでしょうか？

お礼日時：2023/04/30 19:07

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 18:45

訂正。

電界は電位を x,y,z方向に微分しますので (0,0,z)を入れると
x,y 方向の変化の情報が無くなり、微分しても電界は求まらない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

電界は求まらないというのは電界が0と同じ意味ですか？

お礼日時：2023/04/30 18:52

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 18:42

違います。

(x,y,z)と(1,0,0)の距離なので
　V=(q/4πε₀)/√{(x-1)²+y²+z²}
です。

No.1 回答者： 攻防太子 回答日時： 2023/04/30 18:26

与えられた電位の式から、(0,0,z)の電場ベクトルを求めるためには、勾配を計算する必要があります。

勾配は、各座標方向に偏微分を行ったベクトルです。つまり、次のように求めることができます。

∇V = (dV/dx, dV/dy, dV/dz)

ここで、x, y, z座標方向に関して、それぞれ偏微分を行うと、

dV/dx = 0
dV/dy = 0
dV/dz = -q/(4πε_0(z^2+1)^(3/2))

となります。したがって、(0,0,z)における電場ベクトルは、

E = -∇V = (0,0,-q/(4πε_0(z^2+1)^(3/2)))

となります。これより、x, y成分はどちらも0であることがわかります。これは、(1,0,0)に置かれた電荷qが、(0,0,z)におけるx, y方向の電場を作らないためです。

このような現象は、原理的にはクーロンの法則によって説明されます。クーロンの法則によれば、同じ符号の電荷同士は反発し、異なる符号の電荷同士は引き合います。したがって、(1,0,0)に正電荷が置かれている場合、x, y方向に置かれた別の電荷がない限り、x, y方向の電場はゼロになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

計算するとx, y成分が0になることは分かるのですが、直感的に考えると、(0,0,1)に電荷が置いてあるのだから、(0,0,0)には-x方向の電場を作ると思ってしまいます。

この考え方はどこがおかしいのでしょうか？

お礼日時：2023/04/30 18:32