向かい合っていない板の静電容量

一般に静電容量を求める式はC=ε*S/dですが、
私の知っている範囲では、2枚の板が向かい合っている場合に
適用されると認識しています。
この2枚の板が並行方向にずれて、並行ではあるものの
正面ではない場合（＿--　←のような）の静電容量はどうなるのでしょうか？

考え方、もしくは計算式を教えて戴きたくお願いします。

条件：並行板1mm□　、　並行距離0.5mm、　板間の誘電体なし（空気）
背景：電気信号の伝わり方を調べたい。もしくは、どれくらい離れる（ずれる）と
　　　　静電容量として無視出来るのか、電界、磁界の作用が支配的となるなら、
　　　　その関係も把握したい。　　以上です。宜しくお願い致します。

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/09/22 16:40

　任意のコンデンサーの静電容量を厳密に計算する方法はありますが、実用的にはかなり面倒な計算になり、大概数値的にしか解けません。

そこで系の定性的性質を見積もるだけなら、エネルギーを利用する方法があります。コンデンサーなら、

　　Ｕ＝1/2×Ｑ^2/Ｃ　　　　　　　　　(1)

で表される静電エネルギーＵです。Ｑはコンデンサーの帯電量，Ｃは静電容量。(1)でエネルギーＵを適当に見積もれれば、帯電量Ｑは一定なので、容量Ｃを評価できます。
　Ｕはエネルギーなので、力学的エネルギーと考える事もできます。つまり極板を横にずらす時に加えなければならない力学的仕事量によって、Ｕは増加します。

　いま極版は1mm真角なので、1cmも離れれば点電荷のように扱えそうです。かなり強引ですが、この仮定を受け入れて、点電荷を横にずらす時に必要な仕事を計算してみます。±Ｑの点電荷の最初の距離はｄ（極板間距離）で、ｄと直角な方向xに距離Ｌずらしたとします。必要な仕事Ｗは、クーロンの法則より、

　　Ｗ＝Ｑ^2／(4πε)×(1／ｄ－1／(Ｌ^2＋ｄ^2)^(1/2))

になります（添付図参照）。最初の静電容量を、

　　Ｃ0＝εＳ／ｄ　　　　　　　　　　　　(2)

とし、当初エネルギーＵ0は、

　　Ｕ0＝1/2×ｄ／(εＳ)×Ｑ^2　　　(3)

なので、Ｌずらした後のＵは、

　　Ｕ＝Ｕ0＋Ｗ＝1/2×Ｑ^2/ε×(ｄ／Ｓ＋1／(2πｄ)－1／(2πｄ)／(Ｌ^2＋ｄ^2)^(1/2))

という事になります（あくまで見積もりです）。これを(1)に代入してＣを逆算し、Ｌについての関数として描いたグラフを、添付図に示します。計算はMKS単位で行っています。
　図中の色分けされた横点線は、Ｌ→∞とした場合のＣの値を示します。ｄ＝0.5mmの場合、思ったほどＣが小さくならないのがわかります。これは1mm真角の極板に対して、極板距離0.5mmが大きすぎ、(2)が適用できなくなって、大き過ぎる(3)の値を用いたせいと思いました。(2)は、ｄに対してＳが無限に広いと仮定した時の近似式です。
　そこでｄ＝0.2，0.1mmのグラフも併記しました。グラフの挙動から見積もると、ｄ^2／Ｓ≦0.01程度の条件がないと、実用的なコンデンサーとして用をなさない気がしました。上記条件が満たされるとき、やはりグラフの挙動から、横に1mmずらせば（ちょうど極板幅）、静電容量は無視できると思えます。
　以上の予想は、無限に離れた極板はコンデンサーでないはずだ、という考えに基づきます。その意味では、ｄ＝0.2，0.1mmのグラフも近似計算の結果です（本当はＬ→∞で、0に近づくはず）。

　オームの法則と完全導体を仮定すれば、外部電場は導体（導線）内に侵入できなくなります（コンデンサーに接続されている導線は除きます）。なので普通は、コンデンサーから漏れ出す電場が小さいこともあり、それらは電流に影響しないと考えると思います。
　電場，磁場，電流の関係ですが、ふつうの交流理論では、電場の時間変動（電束電流）の磁場への直接の影響は無視しますので、ファラデーの電磁誘導の法則から磁場が電場に影響し、その影響がオームの法則を通じて電流に渡り、電流の変動がアンペールの法則で磁場へ返っていく、という図式だと思います。このとき電場と磁場はほぼ独立に計算でき、相互作用の影響をインダクタンスなどの回路定数として使用可能にしたのが、ふつうの交流理論だと自分は考えています。
　ちなみに電束電流の影響は、交流（電気信号）の周波数に大きく依存し、それが無視できなるのは10^18程度の周波数からだそうです。10^18は、光で言えば、紫外線領域の周波数です。

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。ご回答頂いた内容を自分なりに噛み砕きながら理解していくのに時間がかかってしまいました。私にはやはり難しい現象です。記載頂いた内容に関しては大変わかりやすいご説明で概ね理解出来ました。　もう少し実際の現象と合わせてみると・・・
極板Aに交流信号（数百kHz）極板BはHi-Z状態で　板の大きさ、距離などは同じとした場合、極板Bに現れる電圧は変位電流（電束電流）によるものではなく、電界⇔磁界の作用によるものでズレ（L長さ）が極板長さと等しい（=向かい合った長さがちょうど０⇒ｄ^2／Ｓ≦0.01を満たさない）場合コンデンサとしての作用が無視できるほど微小になると理解しました。

お礼日時：2011/09/27 10:52