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3個の点電荷+q ,-2q ,+qが間隔dで直線状に置かれている。これら点電荷から十分離れた点(r>>d)における電位および電場の各成分Ex,Ey,Ezをdについて2次の精度で求めなさいという問題です。

複数なら和をとればいいというのは分かるのですが、具体的な計算方法がよく分かりません。

gooドクター

A 回答 (3件)

こんばんは。


面白そうなので、頭の体操のつもりで考えてみました。


>>>複数なら和をとればいいというのは分かるのですが、具体的な計算方法がよく分かりません。

和を取ればいいことはご存知であるわけですから、まずそれをやればよいです。
dについて二次の精度というのは、後付けでできます。


さて、XYZ座標系において、3つの電荷が、
点A(0,0,-d)に +q  の電荷A
原点O(0,0,0) に -2q の電荷B
点C(0,0,d) に +q  の電荷C
というように並んでいるとします。

円筒座標系で表すと、
z=z
rcosθ = x
rsinθ = y
となります。
(ここでいうrは、電荷からの距離でも原点からの距離でもなく、円筒の半径であることに注意。)

電場の大きさはθに依存しませんから、θ=0 として電場の大きさを考えるのが楽です。
それは、XYZ座標系において、
z = z
x = x
y = 0
として考えるということです。
では、XYZ座標系にθ=0の考え方を入れて、以下、計算を進めます。


座標(x、0、z)に点Pがあるとし、点Pにおける電場に注目します。
点Pの位置ベクトルを p→ と表し、その絶対値を p と表すことにします。


点Pにおいて・・・

電荷Cによる電場は、
EC→ = 1/(4πε0)・q/|CP→|^2・CP→/|CP→|
 = 1/(4πε0)・q/|CP|^3・CP→
 = 1/(4πε0)・q/((x^2 + (z-d)^2)^3/2・CP→
 = 1/(4πε0)・q/(x^2 + z^2 - 2dz + d^2)^3/2・CP→
 = 1/(4πε0)・q/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2・CP→
 = q/(4πε0)・CP→/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2

同様に、電荷Aによる電場は、
EA→
 = q/(4πε0)・AP→/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2

電荷Bによる電場は、
EB→ = 1/(4πε0)・(-2q)/p^2・p→/p
 = q/(4πε0)・(-2p→/p^3)

3つを全部足して、
E→ = q/(4πε0)・{ CP→/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + AP→/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2p→/p^3 }
という暫定の答えが出ました。



ここで、ベクトルの成分は、
AP→ = (x,0,z+d)
p→ = OP→ = (r,0,z)
CP→ = (x,0,z-d)
なので、
電場のx成分は
Ex = q/(4πε0)・{ x/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + x/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2x/p^3 }
 = qx/(4πε0)・{ 1/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + 1/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2/p^3 }

y成分は、
Ey = 0

z成分は
Ez = q/(4πε0)・{ (z-d)/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + (z+d)/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2z/p^3 }

です。(暫定の答え その2)



ここで
kc = 1/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2
ka = 1/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2
と置けば、

Ex = qx/(4πε0)・{ kc + ka - 2/p^3 }

Ez = q/(4πε0)・{ (z-d)・kc + (z+d)・ka - 2z/p^3 }
 = q/(4πε0)・{ z(kc + ka) - d(kc - ka) - 2z/p^3 }

と書くことができます。(暫定の答え その3)



ここで、d≪p を利用して、kc と ka の近似を考えます。

kc = 1/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2
 = 1/p^3・(1 - 2dz/p^2 + d^2/p^2)^(-3/2)
 ≒ 1/p^3・(1 + 3dz/p^2 - 3/2・d^2/p^2)

ka = 1/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2
 = 1/p^3・(1 + 2dz/p^2 + d^2/p^2)^(-3/2)
 ≒ 1/p^3・(1 - 3dz/p^2 - 3/2・d^2/p^2)

すると、
kc + ka ≒ (2 - 3d^2/p^2)/p^3
kc - ka ≒ 6dz/p^5
となります。

よって、
Ex ≒ qx/(4πε0)・{ (2 - 3d^2/p^2)/p^3 - 2/p^3 }
 = qx/(4πε0p^3)・(- 3d^2/p^2)
 = -3qd^2・x/(4πε0p^5)

Ez ≒ q/(4πε0)・{ z(2 - 3d^2/p^2)/p^3 - d・6dz/p^5 - 2z/p^3 }
 = qz/(4πε0p^3)・{ (2 - 3d^2/p^2) - 6d^2/p^2 - 2 }
 = -9qd^2・z/(4πε0p^5)

と出ました。
θ=0 で考えていますから、Ey=0 です。

計算不得意のため、どっか間違えているかもしれませんので、
検証してください。


あとは、θ=0以外のケースについて、Ez以外(Ex と Ey)を求めます。

また、電場を無限遠点まで積分すれば、電位が求まります。


他の、うまい解き方があるような気がしますが、まずは、ご参考になりましたら。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。

お礼日時:2008/12/01 00:26

こんばんは、


質問者が、既に書いておられるように、電場に関しては、重ね合わせの原理が有効ですから、各電荷が一つしかなかったとして、無限遠点を基準点とする電位を求めることは容易ですね。3つの電荷に関して、電位を求め重ねあわす、即ち、足し算すれば電位が分かることになります。
具体的方法とは、r>>d、即ち|d/r|が十分小さいことを用いて、Taylar展開すると言う意味でしょうか・・・。
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ダイポールが形成する電場は(公式としてではなく)自分で、座標系を設定して電場の式を書いて展開して近似して導出できますか?


具体的な計算方法は、ダイポールと同じだと思います。
面倒がらずに手を動かしてみることが大切です。
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