電荷の受ける力

一様な線密度λ の帯電した長さ 2l の太さを無視することができる細長い棒がある. この棒の垂直二等分面上に棒から a 離れた点 P に点電荷 Q をおいた場合, その点電荷の受ける力を求めよ. さらに, l → 0 の極限を取り,クーロンの法則を満たしていることを示せ. ただし, Q′:= 2lλ とせよ

この問題で以下のような回答を考えたのですが間違っていないでしょうか。ご指摘お願いいたします。

k をクーロン定数として、棒を2次元デカルト座標の y 軸上 y = -l から y = l にあるとする。
また、P は x軸上にあり x は P の位置を表すとする。

Pの電位は Vp = λk∫[-l⇒l]1/(y^2+x^2)dy = 2λk・arctan(l/x)/x

x軸上のxプラス方向の電場は
E = ∂Vp/∂x = 2λk [d/dx(arctan(l/x)) - arctan(l/x)]/x^2
= 2λk[1/{1+(l/x)^2}(-l/x^2) - arctan(l/x)]/x^2

2lλ=Q' より l → 0 では
E = 2λk[(-l/x^2) ]/x^2 = kQ'/x^2

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/04 20:48

電荷分布はx軸に対して対象なので電界はx成分しかない。

つま
り、x成分だけ求めればよい。

yの位置の微小部分 dyの電荷はλdyで、この電荷とPの位置
の距離は　√(y²+a²) なので、微小電荷がPに作る電界の大きさ
は
　kλdy/(y²+a²)
x成分は
　dE=kλdy/(y²+a²)・a/√(y²+a²)
　　=kaλdy/(y²+a²)³/²
重ね合わせにより積分すると、2lの長さの全電荷による電界と
なる。
　E=∫[-l,l] kaλdy/(y²+a²)³/²=2kaλ∫[0,l] dy/(y²+a²)³/²
・・・・y=a tanθと変数変化すると、θ₁=tan⁻¹(l/a) 、
　　　　sinθ₁=l/√(l²+a²) として

　　=2kaλ∫[0,θ₁] (a/cos²θ)dθ/{a³/cos³θ)
　　=(2kλa/a²)∫[0,θ₁] cosθdθ=(2kλ/a)[sinθ][θ₁,0]
　　=(2kλ/a)sinθ₁=(2kλ/a)l/√(l²+a²)
　　=(2kλ/a)l/√(l²+a²)

したがって、P点で電荷Qの受ける力は
　F=QE=(2kλl/a)Q/√(l²+a²)

Q′:= 2lλ とすると
　F=kQ'Q/{a√(l²+a²)} → kQ'Q/a² (l → 0)


ちなみに
Pの電位は
Vp = λk∫[-l⇒l]1/√(y^2+a^2)dy

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/02/04 21:00