半径a,bの同心球の間に誘電率ε, 電気伝導率σの物質をつめ, 内球に電荷Qを与えるとき, 物質内に

Question

半径a,bの同心球の間に誘電率ε, 電気伝導率σの物質をつめ, 内球に電荷Qを与えるとき, 物質内に発生する熱量を求めよ。

解答は、静電容量C=4πε/(1/a-1/b)より、発熱量W=Q^2(1/a-1/b)/(8πε)と書いてあります。

このとき、電荷を与える前後で静電エネルギーは増加していますが、a<bより、発熱量も正となっています。

静電エネルギーが減少し、その減少分だけ発熱すると思うのですが、この場合はなぜ静電エネルギーが増加するにも関わらず発熱するのでしょうか？

ご教授よろしくお願いします。

rnakamra · Accepted Answer

#1です。
お礼に対して

>一つ疑問点があるのですが、電荷が内球から外球に移動すると分かるのは何故でしょうか？

二つの方法で説明します。

1.(Q>0の場合)内球よりも外球のほうが電位が低いから
電荷が内球にあろうと外球にあろうと外球の外側の電界の大きさは同じです。(ガウスの法則から簡単に示せます)
外球の電位は電荷のある場所に関わらず同じです。

電荷が内球にある時、Q>0であれば二つの球殻の間の電界は外向きになります。つまり内球の電位のほうが高くなります。
Q>0のとき、電荷は電位が高いところから低いところに移動します。

2.内球に電荷があると、電荷同士で斥力が働きます。
外球に移動すればそれだけ電荷間の距離が広がります。電荷間の斥力がある以上、電荷は距離が広いほうがよりエネルギーが低くなり、安定します。

endlessriver · Answer

>電荷が内球から外球に移動する<

これは設問で省かれている設定を明確にしないと判定できない。
まず、電荷保存から、電荷Qをどこから持ってくるかを示さない
といけない。

考えられるのは外球からとすると外球の内面に-Qの電荷が残り
ます。次に無限遠からとすると、内球の+Qから無限遠の-Qに向
かって電界がはしり、外球の内面に-Q、外面に+Qが表れます。

いずれにしても、内球の+Qと外球内面の-Qという設定を考えれ
ば良い。

rnakamra · Answer

1.内球に電荷Qを与える
↓
2.内球から外球に向かって電流が流れる(発熱)
↓
3.全ての電荷が外球に移動し終わる(発熱終了)

ここで考える静電エネルギーの変化は最初の電荷を与えた時の静電エネルギーの増加ではなく、1の状態から3の状態になった時の静電エネルギーの変化を意味します。

内球に電荷Qがある状態の静電エネルギーよりも外球に電荷Qがある状態の方がエネルギーは小さく、静電エネルギーは減少しています。

多分質問者の勘違いです。

#1です。