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「内部が中空で半径aの無限に長い円筒状の物体に単位長さあたりλの電荷を一様に与えたとき、円筒の内外の電場を求めよ。」という問題で、
2πRE(R)=λ/ε ってかいてありましたが、 2πR の部分は側面の表面積とおもうのですが、これでは円の表面積ではないでしょうか??また「無限に長い」という言葉から、インティグラルの無限大を取るべきではないでしょうか??たぶん考え方が違うとおもうのですが指摘してくれたら幸いです。お願いします。

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A 回答 (4件)

>2πR の部分は側面の表面積とおもうのですが、これでは円の表面積ではないでしょうか??


2πR×1が円筒の単位長の表面積ですね。
「円の表面積」こういう表現はありません。円筒の円周と表現すべきでしょう。「×1」は単位長を掛けて円筒の表面積になりますが、公式では「×1」は省略されますから勘違いされているのだと思います。

>「無限に長い」という言葉から、インティグラルの無限大を取るべきではないでしょうか??

無限に長いと言う表現は、円筒の両端の端効果(電界や磁界つまり電気力線や磁力線の向き)の影響が無視できるということを言っているのであって、これは単位長だけで考えれば、その関係式が円筒状のどの位置でも成立するということを意味しているわけです。

>インティグラルの無限大を取るべきではないでしょうか??
無限に長いからこそ単位長だけを考えればよいわけで、有限長なら端効果が効いて来ますので単位長だけで扱えなくなり、円筒の全体について積分しなくてはならなくなります。

>2πRE(R)=λ/ε
この式は変形すると
E(R)=λ/(2πRx1)×(1/ε)
で「λ/(2πRx1)」が円筒表面の単位面積あたりの電荷ですね。その電荷をεで割ったものが電界ということですね。
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「無限に長い」ですが shkwta さんの回答通りですね。


「円筒の上下の影響を考えなくて良い」ということです。有限の高さの円筒で厳密に計算して、高さ無限大の極限を取る必要はなく、定常状態にあると考えて単位長の高さを切り出せばよいのです。
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「無限に長い」は簡単のために端での影響を無視して良いということです。

つまり円筒状の物体のどこの部分でも条件は同じということなので
ガウスの法則より 電場=単位面積あたりの電荷/誘電率 です。 単位長さあたりλの電荷が与えられているので単位面積あたりではλ/2Πaの電荷が与えられます。

気になるのは内部の電場ですが、おそらく打ち消しあって0になると思われます。
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難しく考えすぎです。



円筒状の物体から、長さLの部分だけを切り出して考えれば、その部分の電荷はLλ、表面積は2πRLだから、ガウスの法則により 2πRL E(R)=Lλ/ε です。ご質問の式は両辺のLを消してあるだけです。
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