【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

半径Rの無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度σで分布しているとき、ガウスの法則を用いて生じた電場を求めよ。

以下参考書の解説
 閉曲面Sとして、電荷の分布する円筒と同軸の半径r、長さLの円筒面を選ぶ。Sについての電場Eの面積分はE2πrL
 Sの内部に含まれる電荷はr<Rのとき0、r >Rのときσ2πRL
 よって、ガウスの法則より、E=0(r<R)、σR/εr(r >R)

なぜ、Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?
なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

詳しい解説お願いします。

A 回答 (2件)

>Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?



問題の定義どおりです。

面密度 x 円筒の表面積 = σ x 2πRL

>なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

ガウスの法則から

電場=電荷量/(ε局面Sの側面積) = σ x 2πRL/(ε2πrL)=σR/(εr)
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この回答へのお礼

ε局面Sの側面積ってなんですか?

詳しい解説お願いします。

お礼日時:2014/07/12 17:10

>ε局面Sの側面積ってなんですか?



εは誘電率です。

側面積とは円筒の曲っている部分の面積
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。

お礼日時:2014/07/12 18:01

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Q電荷が球殻内に一様に分布する問題について

「 内半径a,外半径bの球殻(aくb)があり,球殻の中心からの距離rとする.電荷Qが球殻部分(aくrくb)に一様に分布しているとき,電界と電位を求めよ.また,rくa,bくrは真空として真空の誘電率をε0する.」
という問題です.
この問題は試験問題だったため回答がないので,一応参考書などを読んで似たような問題を見たりしたのですが,今一つ理解できません.
もしよろしかったら,どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

hikamiuさんが既にお答えされていますので、以下は具体的な計算のやり方についての話です。計算のやり方は大学の先生のご好意による講義ノート(参考URL)が公開されていますので、そこの7の6を参照してみてください。もっともその前に講義ノートの6の5で少し計算の地ならしをしてから進まれたほうが理解が速いかもしれません。

参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p0idxA.ssi

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q円柱導体の表面の電位について

たびたび質問してしまいすみません。
問題を解いていて疑問に思ったことがあるので質問させてください。

半径a、長さ無限大の円柱導体に、単位長さ当たりλの電荷を与える。
このとき、導体表面の電位は何か?

これを解く方針としては、
ガウスの定理より、導体の中心からの距離をrとして、a≦rでの電界は、

E=λ/2πεr

これを[∞,a]の範囲で積分する。

V=-λ/2πε∫dr/r
 =K(ln∞/a)  K=λ/2πε  ε:真空の誘電率とします。
=∞

となってしまいます。
何か変なんでしょうが、何が変なのかが全くわかりません。
どうやって解けばいいのでしょうか?
ご教示願います。

Aベストアンサー

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
良い着眼点を持ってると思いますよ。
とはいえ、この質問に対して十分納得できる回答は、
私には持ち合わせていません。

これについては、最終的に自分の見解を持って自得するしかないと思います。(数式上ではそうなることが分かっているので、それをどう捉えるかは物理のセンスとなります。)

まずは前半。E=1/rについてですね。一つの見解では、やはり「無限に広がる電荷」という事項がミソになっていると考えることができます。
無限に広がる電荷からN倍の距離離れた場合、寄与する電荷量は三平方の定理からN倍に大きくなります。
(r=(x^2+y~2+d^2)^1/2でdをN倍に増やすと、xとyの変化によってrはあまり変化しないことから言えることです。)
また、ガウスの法則では「無限に広がる場合、対称性から電場の広がる方向が限定され、放射が球面状ではなく円状に行われる」という解釈をしています。
いずれもE=1/rの発散を導くことはできますが、素直に後者の方で解釈するといいでしょう。

問題は、その後です。∫で考えると難しいのでΣで考えましょう。
E=Σ(1/r)は無限に発散します。これは、次のように考えることができます。
E=Σ(1/r)=1+(1/2+1/3+・・・+1/10)+(1/11+1/12+・・・+1/100)
E>1+(1/10+1/10+・・・)+(1/100+1/100+・・・+1/100)=1+9/10+90/100+900/1000+・・・=1+9/10+9/10+9/10+・・・→∞
∫1/r=lonN→∞はこのような解釈をすることができます。
物理的には、これはどこまで離れた距離dからでも、さらに9d遠ざかると一定の位置エネルギー(log9)が獲得できることとして解釈できます。
これは恐ろしいことです。
もし重力が1/rでしか発散しないならば、どこまで行っても一定の間隔でエネルギーを失い続け、いつかは地球に落ちてくることになります。
もし、rの一乗より多く比例していれば、距離dからlog9のエネルギーを失うまでに9*(d^(n-1))倍、つまり無限倍の距離をとらなければならなくなり、裏を返すと脱出可能となります。無限でのポテンシャルが有限になることで、やっと脱出速度という概念が生まれるのです。

このように、ポテンシャル無限は「どんなに大きな運動エネルギーでも脱出できない」もしくは「どこまで離れても加速し続ける」ことを示唆していると考えると良いでしょう。
普通に物理の問題で「だめだこの問題、解が発散する」なんて考えるよりは、よほどセンスが磨かれる良い思考だと思いますよ。

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
良い着眼点を持ってると思いますよ。
とはいえ、この質問に対して十分納得できる回答は、
私には持ち合わせていません。

これについては、最終的に自分の見解を持って自得するしかないと思います。(数式上ではそうなることが分かっているので、それをどう捉えるかは物理のセンスとなります。)

まずは前半。E=1/rについてですね。一つの見解では、やはり「無限に広がる電荷」という事項がミソになっていると考えることができます。
無限に広が...続きを読む

Q線電荷による電位

単位長さあたりq[C]の無限直線の線電荷から距離aだけ離れた点の電位を求めたいのですが。
電界はE=q/4πε0a[V/m]となったのですが、ここから電位を求めるにはどうすればいいのでしょうか?点電荷だと-∫[∞→r]Edrというような感じで求めることができると思いますが、線電荷の場合はどうなのでしょう?

Aベストアンサー

電位の基準点は断りがなければ無限遠点にとるのが普通です.
これは,無限遠点はどこから見ても無限遠点なので,
電荷が複数あった場合に基準点を共通に取れると言うことから来ています.
電位というのは標高みたいなものですから,
2つ以上の電荷があるときには基準点を統一しないと直接比較ができないことになります.

でも今の場合は基準点を無限遠点に取ると電位が発散してしまいますので,
この種の問題では「ただし,電位の基準点は線電荷から距離 R の場所とする」
というような但し書きがあるのが普通です.
但し書きがなければ,自分で
「電位の基準点をは無限遠点に取るのが通常だが,
今はそうできないので距離 R の点を基準にした」
などと書いておけば文句のつけようはないでしょう.

電位を単なる電界の不定積分にするのは(少なくとも私は)感心できません.

Qガウスの法則で電界の大きさを求める

「半径aの断面をもつ無限に長い円筒表面上に、電荷が面密度ωで一様に分布している。中心軸からの距離がrでの電界の大きさE(r)をガウスの法則を用いて求めよ。」

という問題です。
以前に、電荷が円筒表面ではなく軸上に分布しているケースの問題を解いたことがあり、その類題だとは思うのですが…。

一応、(i)r<a (ii)r>a で場合分けをし、(i)は軸対称からいってE(r)=0でしょうが、(ii)がわかりません。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

>軸上に分布しているケースの問題を解いたことがあり

ということなら、r>a のところではそれと同じでしょう。

 円筒の軸を中心とし、半径r、高さ1の円柱面を考え、その面を貫く電気力線の密度を考えればいいわけです。「円筒表面上に、電荷が面密度ωで一様に分布している」のですから、今考えている円柱の内部にある電荷は、高さ1の円筒表面にある電荷ですから、2πaω になりますね。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。

Q円柱を一様電場の中に

真空中の一様な電場Eの中に半径Rの導体の円柱を中心軸が電場に垂直になるように置いた。電位と円柱の表面に誘起される電荷密度を求めよ。
この問題を円筒座標で考えたときr>Rでの解の予想が本ではV=-Ercosθ-acosθ/rとなっていますが、電場の中の導体が球ではr>RではV=-Ercosθ-acosθ/r^2となっています。
円筒座標でのrは√(x^2+y^2)と球座標でのrは√(x^2+y^2+z^2)です。
球でのVの第二項は電気双極子による電位から推測できますが、円筒でのVの第二項はなぜ予想できるのですか?
分母が2乗でないのが理解できません

Aベストアンサー

球でも円柱でも、解の第二項は「予想」からで出てくるのでなく、ANo.1 さんがおっしゃるように、Laplace方程式を解くことで出てくるものです。
円柱の場合の解は V = -E*r*cosθ - a*cosθ/r でなく、V = -E*rcosθ + E*a^2*cosθ/r が正しいと思います。

この解の第一項は外部電場 E による電位、第二項は、円柱に誘起された電荷による電位です。第二項の一般形は、円柱座標系での Laplace方程式の解
    V(r, θ) = ∑[ n = 1 ~ ∞ ] { an*cos(n*θ) + bn*sin(n*θ) }*( cn*r^n + dn/r^n ) + ( a0*θ + b0 )*{ c0*ln(r) + d0 }
ですが、r → ∞ のとき V が有限値になるためには cn = 0、c0 = 0 でならなくてはならず、電場方向に対する電位の対称性から a0 = 0、bn = 0 となります。また、r = a のとき V = 0 ならば b0*d0 = 0、 a2*d2 = a3*d3 = ・・・ = 0、-E*a + a1*d1/a = 0 なので結局
    V(r, θ) = E*a^2*cosθ/r
となります。

球でも円柱でも、解の第二項は「予想」からで出てくるのでなく、ANo.1 さんがおっしゃるように、Laplace方程式を解くことで出てくるものです。
円柱の場合の解は V = -E*r*cosθ - a*cosθ/r でなく、V = -E*rcosθ + E*a^2*cosθ/r が正しいと思います。

この解の第一項は外部電場 E による電位、第二項は、円柱に誘起された電荷による電位です。第二項の一般形は、円柱座標系での Laplace方程式の解
    V(r, θ) = ∑[ n = 1 ~ ∞ ] { an*cos(n*θ) + bn*sin(n*θ) }*( cn*r^n + dn/r^n ) + ( a0*θ + b0 )*{ c0*l...続きを読む

Q2重円筒の電場

写真の左の図のような2重円筒に関しての質問です。電流Iは無視してください。

この時、中心軸からの距離xに応じた電場を求めたいのですが、
円筒に挟まれた領域では写真の右図のようなになることはガウスの法則を用いて求めることができましたが、二つの円筒より外で図のような電場になることが分かりません。

円筒の半径より大きいxのとき、ガウスの法則を適応させれば正味の電荷は0になり、電場も0となるように思うのですが、正しくはどう考えればいいですか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

siegmund です.

> 図のように電池を繋いだ場合、また内側の円筒に正の電荷を与えた場合それぞれで、
> 外側の円筒を接地したとき、電荷の様子はどのようになるのでしょうか?

この場合,接地というのは無限遠と外側円筒を導線で結ぶことをいいます.
導線で結ばれると一体の導体となりますから,
外側円筒と無限遠とは等電位で,それらの間に電場はありません.

この状況は電池をつないだときも同じですから,
電池の場合では外側円筒を接地しても変化は起きません.

次に内側円筒にのみ電荷を与えた場合.
接地する前に外側導体円筒の外側表面にあった電荷(総量-Q,単位長さ当たり)は
無限遠に移動します.
したがって,R+d < x <∞ で円筒にガウスの法則を適用したときに,
その内部の電荷の総和はゼロになっていて(内側円筒外側表面に Q,外側円筒内側表面に -Q),
この部分での電場がゼロであることと符合します.
接地しないときは,内側円筒外側表面に Q,外側円筒内側表面に -Q,外側円筒外側表面に Q,
でした.

> 電池をそのまま接地するというのはなんとなくおかしな気もしますが…

そんなことはないです.
この円筒は要するにコンデンサーです.
コンデンサーに電池をつないだ単純回路を作ったときに,
電池の負の側をアースしようとしまいと別に変化がないのと同じことです.

siegmund です.

> 図のように電池を繋いだ場合、また内側の円筒に正の電荷を与えた場合それぞれで、
> 外側の円筒を接地したとき、電荷の様子はどのようになるのでしょうか?

この場合,接地というのは無限遠と外側円筒を導線で結ぶことをいいます.
導線で結ばれると一体の導体となりますから,
外側円筒と無限遠とは等電位で,それらの間に電場はありません.

この状況は電池をつないだときも同じですから,
電池の場合では外側円筒を接地しても変化は起きません.

次に内側円筒にのみ電荷を与えた場合.
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Q円筒の電荷密度

半径5cmおよび10cmをそれぞれ内径・外径とする同心円筒があり、円筒間の電位差は100Vです。
そのときのそれぞれの導体表面の電荷密度の求め方がわかりません。
まず最初に何をすればいいのかということもまったくわからないのでヒントだけでもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

図がないとわかりにくいので説明対応できるか不明ですが。

円筒の長さLの部分を考えます。
∫EdS=Q/ε から円筒の長さ方向には対称ですから
dS=Lds, Q=Lq。 dsは円筒の周長に沿う微少長さで、qは単位長あたりの電荷密度(C/m)になります。

すると、円周方向の対称性からEは円筒面上の何処でも一定ですから2πrE=q/ε.
内径をr1、外径をr2としてEを半径方向に積分すれば電位差Vが求まります。
V=∫(r1~r2)(Edr) これからVはr1,r2,q,εからなる式になります。

そうすれば、未知数はqだけなので求まります。
導体表面の電荷密度σは
σ=q/(2πr)[C/m2]
となります。すなわち内径と外径では電荷密度は異なります。

なお、特に指示がなければεは真空中の誘電率でよいはずです。


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