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無限に広い平面の導体表面に電荷が一様な密度σで分布しているとき、電界の強さEと電位Vを導体表面からの距離xの関数として求めよ。ただし、距離xは表面から真空中に向かう方向を正方向として、導体の電位はV_0とする。
という問題なのですが、距離xの関数として求めるにはどうしたらよいのですか?

確か無限の平面の場合、ガウスの法則を使って、E=σ/2ε_0となったような気がするのですが、この式にはxが含まれていません。

どのようにして求めるのですか?

ラプラス方程式を使っては求められないですよね?

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A 回答 (4件)

大学で物理の研究と教育をやっている siegmund です.



> 問題にわざわざxの関数として求めよ。と強調されたように書いてあったので
> わかりませんでした。これは回答者を迷わすためでしょうか?

私が出題者だとして,そういう風にいわれると悲しくなっちゃいますね.
理工系大学の1年次(相当)の話ですよね.
FT56F001 さんの言われる
> 「xの関数」という言葉は,
> 特殊な場合として「xに無関係な定数」
> も含みます。
はすでに高校の段階で知っているべきことです.
一方,final2909 さんが書かれていますように
E=σ/2ε_0 で定数(x によらない)ですが,
電位 V は x によります.
「電場 E が x によらないなら電位 V も x によらない」と誤解する学生は多いです.
「xの関数として求めよ」というのはそのことに注意を喚起しているのです.

> 電位は電場を積分すればいいのですよね?
> この場合積分範囲は、-∞から0までということでいいんでしょうか?
> そうすると、σ/2ε_0だから、それを積分すると、-σx/2ε_0となって、
> 答えが発散してしまうような感じがするのですが。

電位差は電場を積分すればいいのですが,
積分範囲は問題にしている点からある点までです.
今の場合,問題にしている点は x の点,「ある点」は導体表面,です.
したがって,電位差は
(1)  ∫{x=x → 0} (σ/2ε_0) dx = -σx/2ε_0
ですが,導体の電位が V_0 なので,場所 x での電位 V(x) は
(2)  V(x) = V_0 - σx/2ε_0
です.

「積分範囲は、-∞から0」は電位の基準点を(可能なら)無限遠に取るという約束に関連した
final2909 さんの誤解です.
もし,電位の基準点を無限遠に取ることが可能なら,電位 V は
(3)  ∫{x=x → ∞} E(x) dx
ですが,これは final2909 さんのいわれるように発散してしまいます.
電位の基準点を無限遠に取ることができる条件は
(a) (3)の積分が発散しないこと
(b) どの方向の無限遠でも共通の電位を持つこと
です(両方満たさないといけない).
例えば,点電荷 Q だと両方の条件が満たされるので
(4)  V(r) = ∫{r=r → ∞} (Q/4πε_0 r^2) dr = Q/4πε_0 r
なのです.

> ラプラス方程式を使っては求められないですよね?

求められますよ.
電位の満たすべき方程式は本来ポアソン方程式
(5)  ∇^2 V = ρ
ですが(ρは電荷密度),x>0 を考えるなら電荷は存在しませんから ρ= 0 です.
これでラプラス方程式
(6)  ∇^2 V = 0
になりました.
さらに問題の状況から V は x にのみ依存する(y,z にはよらない)ですから
(7)  d^2 V(x) / dx^2 = 0 ⇒ V(x) = Ax + B
がわかり,x → 0 で V=V_0 ですから,B=0 がわかります.
あとは A を決めればよいですが,
(8)  E = -dV/dt
ですから,E = σ/2ε_0 に合うように A を決めれば(2)が再現されます.

なお,上のポアソン方程式の解き方はややつぎはぎ的です.
本来は「まだ電場はわかっていない」で解くべきものですが,
やや難しくなるので上のようにしました.
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siegmund です.



書き損ないました.

(5)  ∇^2 V = ρ

(5)  ∇^2 V = -ρ/ε_0
と訂正してください.

この回答への補足

詳しい回答ありがとうございました。
大学4年にもなるのにこんな問題に悩むのは恥ずかしいばかりです。
siegmundさんのように分かりやすく、大学の先生も教えてくれればいいのですが、電磁気学での授業では公式を次から次へとだされその式がいったいどういう意味なのかも詳しい説明もない授業で、非常に理解に苦しみ、独学でやってるような状況です。今後、誤解をなくすためにも数をこなしていきたいと思います。

問題に関してなのですが、確かにラプラス方程式でも同様の答えが得られました。個人的にはラプラス方程式で説いた方が、簡単なように思えました。

補足日時:2012/07/22 00:10
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電場はxに依りません。

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関数f(x)とはxが決まるとf(x)が決まるものを言います。


例えばf(x)=a*x^2+b*x+cなる二次関数で,
a=b=0であっても,f(x)はxの関数です。

つまり,
「xの関数」という言葉は,
特殊な場合として「xに無関係な定数」
も含みます。

この回答への補足

定数も関数になるんですね。なるほど。
問題にわざわざxの関数として求めよ。と強調されたように書いてあったので、わかりませんでした。これは回答者を迷わすためでしょうか?
電位は電場を積分すればいいのですよね?
この場合積分範囲は、-∞から0までということでいいんでしょうか?
そうすると、σ/2ε_0だから、それを積分すると、-σx/2ε_0となって、答えが発散してしまうような感じがするのですが。

補足日時:2012/07/21 22:04
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