電場からの電位の求め方について

静電場ベクトルをE,電位をΦとすると
E=-gradΦ
の関係式がありますが、ある参考書によると球対称な静電場では、積分区間を[r,∞]として
Φ=∫Edr
が成り立つと書いてあります。となるとそのような電場においては
-gradΦ=∫Edr
となるはずですが、-gradΦで求めた静電場は（当然ですが）定数が求められない一方で、∫Edrはちゃんと定数も求めることができます。
つまりΦ=∫Edrは-gradΦの上位互換的な求式だと考えられるのですが、この認識は合っていますか？
また、Φ=∫Edrが成り立つ条件は球対称な静電場だということですが、他にはどのような電場に対して成り立って（使えて）、どのような電場だと成り立たない（使えない）のかも教えて下さい。
何だか抽象的な質問ですが、よろしくお願いします。

No.1 回答者： _takuan_ 回答日時： 2009/12/02 19:45

そもそも式変形が間違ってます。

　　　　E　=　-gradΦ
　　　　Φ　=　∫Edr
を連立させると、Φ　=　-∫gradΦdr　となります。解答者さんの式
　　　　-gradΦ　=　∫Edr　
では、ベクトルとスカラーが等式で結ばれているのでナンセンスです。

電位について。球対称でない「静電場」でも成り立ちます。しかし、「動電場」では電位が定義できません。
高校物理で習った、電磁誘導の式をもちいて説明することができます。
　　　　V　=　dφ/dt　　　(V:起電力　　φ:コイルを貫く磁束)
因みに、コイルの形状は任意です。　V=∲Edr　を代入すると、
　　　　∲Edr　=　dφ/dt　　　――――――――(1)
静電場では、時間変化要因がないので、右辺は０になります。
　　　　∲Edr　=　0
コイルの形状は任意と定めたので、積分経路によらず結果が０。よって、始点と終点が一致する積分経路を新たに与えれば、その値は一意に決まります。
　　　　∫Edr　=　Φ
こうして電位Φは定義されるのです。一般に、電位が定義できる条件は、ストークスの定理を用いて次のようになります。
　　　　∲Edr　=　0
　　　　　⇔　∬rotEdS　=　0　(=∬0dS)
　　　　　　　　　∴　rotE　=　0


しかし、動電場では(1)式の右辺が０にならず、積分経路によって異なった値を示すので、一意の電位が定義できません。電磁誘導や電磁波がその例です。

No.2 回答者： _takuan_ 回答日時： 2009/12/02 19:53

No1です。

文字化けしてますね。
　　　　∲
ていうのを周回積分に読み換えてください。例えば次のような感じに
　　　　∲Edr　→　∫Edr　(積分範囲：とあるループ状)