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電荷が無限に長い直線状導線に電荷密度σで分布しているものとする。
(1)導線の長さLの中に存在する電荷の総量はいくらか。
(2)長さLの導線の中に存在する電荷から出る電気力線の本数はいくらか。
(3)導線から電気力線が一様対象に出ているものとして、導線からdの距離にある点の電界の大きさを求めよ。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3813221.html

この問題の類題として、無限に長いではなく距離Lの導線の場合、の問題に遭遇しました。

(2)までは同じように解けると思うのですが、(3)も同様に2πdLで割るだけで良いのですか?

なんとなく電気力線が端から違う方向へ出ていきそうなのですが。

お願いします。

A 回答 (3件)

ANo.2 です。

数式の訂正をします。導線の長さの評価を間違えてました。

修正をしながら、積分の方法も書いておきます。
添付図のように、導線の中心を原点に、導線の長さ方向にz軸、導線に垂直な方向にr軸を取ってみます。いま、r=d の点Pを考え、P点での電場Eを計算します。
導線の、z座標=z の地点Aに、長さ dz の微小部分を考えます。ここの電荷dqは
dq=ρ・dz
です。

これがPの地点に作る電場dEは

dE=k(ρ・dz)/(r^2+z^2)

導線の全ての長さに渡って足し合わせると、dEのz方向成分は、(対称性から)打ち消されることが明らかなので、実質的に寄与する量は r方向成分dErだけになって
dEr=dE・cosθ=dE・(r/√(r^2+z^2))
です。

これを z=-L/2~L/2 までの範囲で積分します。

E=∫[-L/2..L/2] (k(ρ・dz)/(r^2+z^2))・(r/√(r^2+z^2))
=2kρ∫[0..L/2]r/((r^2+z^2)^(3/2))・dz
=kρL・(1/(r・√(r^2+(L/2)^2))

求める電場は、r=dの地点での電場ですから、rをdに書き戻して

E=kρL・(1/(d・√(d^2+(L/2)^2))

d>>L のときの収束の話は、前回の回答のまま成立しています。
ついでに、逆に、導線の極く極く近傍では d→0 なので

√(d^2+(L/2)^2)→L/2 となりますので、

kq/(d・√(d^2+(L/2)^2)) → kq/(d・(L/2))=2k・ρ/d

となり、Lが無限の長さの場合の値に収束します。
「電荷が無限に長い直線状導線に電荷密度σ」の回答画像3
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この回答へのお礼

分かりやすい解説ありがとうございます
お陰様できちんと理解できました

お礼日時:2011/11/16 20:59

 おっしゃるように、導線の端の辺りでは、導線に対して傾いた方向に電気力線が延びていますので、導線からあまり遠くない地点では、電場はあまり"キレイな形"にはなっていません。

このような場合には、ガウスの法則を適用すること(無限に長い導線の場合に使った解法)はできません。
 ではどうするかと言えば、導線を短い部分(長さが無限小の断片)の"点電荷"の集合とみなして、その寄与を長さに渡って足し合わせる操作(=積分)をして求めることになります。導線の中心から導線に対して垂直な方向にdだけ離れた地点Pにおける電場Eは

  E=kq/(d・√(d^2+L^2))

となります。なお、式中のkはクーロン法則の定数、qは導線全体の電荷 ρ・L です。
もっと一般的な場所における電場の式は、より複雑な形になります。

 ところで、距離dがLに較べて十分に遠いときや、導線の長さLが極めて短い場合には、
√(d^2+L^2) → d となりますから
 E→kq/(d^2)
となり、点電荷から距離 d だけ離れた地点での電場を与える式に収束します。
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割るだけで良いのかどうかは、どの程度の学力を要求するかに依ります。


高校ならば端部の処理は「考慮する必要がない」です。
大学理工学部ならば教科書に従い処理します。
一般的には端部は「電極に接続」と解釈して端部無しとします。
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