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z方向に一様な磁場が印加されている場合を考えます。
このとき、ベクトルポテンシャルとしてx,y方向に並進対称性を持つベクトルポテンシャルを取ることは出来ません。
数式上は全くその通りなのですが、いまいち納得出来ません。
電場の場合には一様な電場が加えられていたら、それと垂直な方向にはポテンシャルが同じなのは納得できます。
磁場もそれと同じように考えたくなるのですが、先に申しましたようにそうではありません。
なぜそうなるのかを物理的なイメージを元に説明くださるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

  • この質問をした背景について補足したほうが良さそうなので書きます。
    実際に実験で行うように、一様な静磁場がz方向に印加されているような場合を考えます。
    このとき、磁場下で運動する電子を考えると、電子に対する環境のようなものはx,y平面内で変わらないように思えます。
    しかし、電子と磁場の相互作用はゼーマンエネルギーの他に
    A・p+p・A+A^2
    の項もあるため、x,y平面内の異なる点でハミルトニアンは等しくありませんが、そうすると一様な磁場下でも、その磁場と垂直方向において環境が等価でないかのように見えます。
    ここで、なぜ等しくならないのかを(あるい等しくならないように見えるだけで、実際は等しいならば、逆になぜ等しいのかを)説明して頂きたいです。

      補足日時:2020/07/23 16:32
  • 上の補足は考え直したら聞きたいことと違っていたので追記です。
    電子と磁場の相互作用が
    e(A・p + p・A + A^2)/2m (x,y方向に異方性)
    - μ_B σ・B (z方向に異方性)
    の形で表せることまでは良いと思いますが、ここで元々の系の異方性はz方向にしかなかったはずなのに、なぜx,y方向にまで異方性が現れてしまったのかというのが疑問です。

      補足日時:2020/07/23 17:16

A 回答 (3件)

思いつきで書いてるだけですが、


ベクトルポテンシャルはゲージ変換分の自由度があるのでベクトルポテンシャルを具体的に書き下せているのであれば何らかの特定のゲージを選ぶという事をやっている事になります。このゲージを選ぶ際にどこかの点を特別扱いしていたとしたら、並進操作によってこの点も一緒に移動するので並進操作の前後で"違う"ゲージを選んでいる事になるのでその分の違いが見えてしまってるということになるんじゃないかな、と。
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ベクトルポテンシャルを電場のスカラーポテンシャルと同一視はできません。


静磁場に対しても静電場の電位と同様に「磁位」があり、
H=-gradφ (φ;磁位)
ですから、電場のポテンシャルと比較するなら、こちらの式との比較になります。
ベクトルポテンシャルは元々数学的道具として導入されたものですし、
一様磁場でのベクトルポテンシャルの代表は
A=(1/2)B×r (ただし、rは位置ベクトル)
でしょうけれど、他にも解がありますかねぇ~。
確かに、ベクトルポテンシャルは、ゲージ場として存在する事は知られていますが、
ゲージ変換での不定性などを考えると、
具体的な物理的描像とは結びつかない様に思えます。
rotBがi でrotAがB でって考えると、
回転の回転が、ええっと・・・?ってなりませんか?(^^;)
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xy平面でx,y軸に平行な正方形を取る。

その1辺の長さをaとし、この面の積分を考える。
もし、Aが併進対称性だったら、Axはyが変化しても同じ、 Ayはxが変化しても同じだから
B=rot A → ∫B・dS=∫rotA・dS=∲A・dl → Ba²=Ax(a-a)+Ay(a-a)=0
となる。Ba²≠0 だから矛盾。

物理的なイメージとは何のことかよくわからないが、rot とは ∫B・dS=∫rotA・dS=∲A・dl
という関係にあり、Bの面積分と、面の周囲の積分が一致するという数学的ないイメージが
なりたつ。

大体、電界にしても、ポテンシャルの傾きが電界と言う、数学的なイメージでしかない。
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