無限に広い導体間の電界

電磁気学の問題です。初心者なので、ヒントだけでもいただけるとありがたいです。

写真のようにB,Cは接地された無限に広い導体、Aは面積密度σの電荷でそれぞれの間隔が与えられています。そこで、各部における電界を求めよという問題です。

B,C二つの導体は無限平面なので、ガウスの定理より電界は距離に無関係で、平等電界E＝σ/2ε0となると思うのですがどうでしょうか？また、導体B,Cが接地されているとBC間電位差は０となるんでしょうか？その場合、電界は発生するのでしょうか？

質問ばかりですいません。回答よろしくお願いします。

No.4 回答者： foobar 回答日時： 2011/07/26 13:59

＃１さん回答にあるように、B,C表面に誘導される電荷を考慮する必要があります。

計算の方法は何通りかありますが、例えば、

方法1．　B,Cの表面の電荷をσB,σCとすると、それぞれ左右にσB/(2ε),σC/(2ε）の電界を作っている。
各部の電界はこの3つの電界の合成で表される。
Bの外側（Aの反対面）の電界は 、（-σB-σ-σC)/(2ε)=0からσB+σC=σ。
BA間の電界は、EAB=（σB-σ-σC)/(2ε)。
AC間の電界は、ECA=（σB+σ-σC)/(2ε)。
BとCが等電位なので、EAB*x+ECA*(d-x)=0。
これらから、σB,σCを計算して、EAB,EACを計算する。

方法2.
BA間の電界EB,AC間の電界ECを仮定する。
BとCが等電位なので、上記同様にEB*x+EC*(d-x)=0。
Aの位置でガウスの法則を適用すると、εEB-εEC=σ。
この連立方程式から、EB,ECを計算する。

計算が簡単なのは方法2の手順かなと思います。

No.3 回答者： Quarks 回答日時： 2011/07/26 11:32

Aの電位をVとする（B,Cは電位０とする）。

AB間，AC間の電場は、問題設定から、それぞれ一様電場になっているのは明らか。
AB間の電場Eabは
Eab=V/x　式（ア）
AC間の電場Eacは
Eac=V/(d-x)　式（イ）
明らかに、Eab≠Eac
なので、Aの電荷面密度は、左右の面で異なることを意味している。
Aの、Bに面した面の電荷面密度をρ1，Cに面した側ではρ2だったとすると、ガウスの法則から
Eab=ρ1/ε　式（ウ）
Eac=ρ2/ε　式（エ）
Aの面電荷密度ρは
ρ=ρ1+ρ2　式（オ）
で表されるはず。
これらの関係から
ρ1/ρ2=(d-x)/x
ρ1=((d-x)/d)ρ
ρ2=(x/d)ρ
などの関係が認められるので
Eab=((d-x)/d)・(ρ/ε)
Eac=(x/d)・(ρ/ε)
V=((x・(d-x))/d)・(ρ/ε)

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/26 11:02

>B,C二つの導体は無限平面なので、ガウスの定理より電界は距離に無関係で、平等電界E＝σ/2ε0となると思うのですがどうでしょうか？

そのようにはなりません。導体内部での電場は"0"になりますので、導体内部と外部にまたがる底面積Sの円柱をとると
σS=ε0*E →　　E=σ/ε0
となります。
導体表面近傍での電界は必ずこのような式で表すことが出来ます。


>また、導体B,Cが接地されているとBC間電位差は０となるんでしょうか？その場合、電界は発生するのでしょうか？

導体Bと導体Cの表面電荷密度が異なりますのでそのようなことはありません。
Aをはさんで逆向きの電界になればよいだけのことです。
BとAを含むように円柱をとりガウスの法則を適用すれば、Aの右側と左側で異なる電界になることはすぐにわかるでしょう。

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/07/26 09:56

>平等電界E＝σ/2ε0となると思うのですがどうでしょうか？

そうはならないでしょう。A-B間とA-C間の電位差が等しく，間隔が異なるので。B，Cへの誘導電荷とAの両面への電荷の配分を考慮すべきです。

>導体B,Cが接地されているとBC間電位差は０となるんでしょうか？その場合、電界は発生するのでしょうか？

両方が電位ゼロに設置されているのですから，B，Cは短絡されていると見てよいのです。結果的に図のような場合と等価です。