2枚の並行導体板に励起される電荷

2枚の無限にひろい並行導体板がxy座標を用いると一枚はy=0の位置に、もう一枚はy=aの位置にあり、これらの導体板は接地されています。
今ここでこれらの導体板の間の(0,a/2)の位置に無限に長い線電荷密度σの棒を置くと、導体板には電荷が励起されると思います。
状況をAAで表すとこんな感じです。

ーーーーーーーーーーー　y=a　導体板
　　　　　・　(0,0)　棒：画面の前後方向に伸びている
ーーーーーーーーーーー　y=0　導体板

このときの導体板間における電位・電場をラプラス方程式を解くことで求めたいです。
ただし解く方法は変数分離法でお願いします。と言うのも、私が質問したい箇所はそこも含んでいるためです。
実際に私が躓いている箇所を計算過程ありで示します。

導体板間において電位はラプラス方程式
(∂x^2 + ∂y^2)φ(x,y)=0
を満たす。
φ(x,y)=X(x)Y(y)と変数分離すると～（略）～
X = Aexp(λx) + Bexp(-λx)
Y = Ccos(λy) + Dsin(λy)
境界条件より
Y(0) = C = 0
Y(a/2) = Ccos(λa) + Dsin(λa) = 0
→λ = mπ/a , (mは整数)
これより
φm = exp(mπx/a)sin(mπy/a)
として、解は
φ = ∑[m=-∞~∞]Cm φm = ∑[m≠0]Cm φm
となる。
（ここからが問題点です。）
電場が無限遠では0に収束するためには
Cm = 0 , (m≠0)
でないといけない。
従って
φ = ∑[m≠0]Cm φm = 0←？？？

これは帯電した棒が置かれていない場合には正しいですが、今回は置かれているのでこうはならないはずです。
一体どうすれば解決できるかご教授ください。

質問者からの補足コメント

• 確かにポアソン方程式にすれば、少なくともφが全域に渡って0になりませんね。
  今回の問題をポアソン方程式で表せば
  (∂x^2 + ∂y^2)φ = -σδ(x,y-a/2)/ε0
  境界条件
  φ(x,0) = 0
  φ(x,a) = 0
  となると思います。
  このとき、そのままポアソン方程式で解くのが良いのか、あるいは
  φ0 = - σ/(2πε0) log(x^2 + (y-a/2)^2)
  として
  φ = φ' + φ0
  で境界条件
  φ(x,0) = -φ0(x,0)
  φ(x,a) = -φ0(x,a)
  のラプラス方程式として解くのが良いのでしょうか？
  今まで境界面では常に0や定数になるような極めて簡単な場合しか解いてこなかったので、ポアソン方程式や、ラプラス方程式で境界条件が関数で与えられる場合の変数分離法での解法が分かりません。
  計算方法（できれば過程も）教えていただけると幸いです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/12/12 22:03

• 電位・電場が連続の条件を当てはめたらφ=0になると思うのですが…。
  計算過程をお願いできますか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/12/12 22:06

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/12/12 08:10

これだと、電荷の存在が何処にも表現されていないです。

ポアソンで解くべき。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2017/12/13 23:26

具体的な解き方なんていくらでもあるでしょうが、

φが偶関数である事と、#2さんがお書きになっているような事を踏まえると、

>φm = exp(mπx/a)sin(mπy/a)
の代わりに
φm = exp(-mπ|x|/a)sin(mπy/a)
としておくのと計算が少し楽になります。

∇^2φ_mの値を計算(x=0では0にならず、δ(x)を含むものになります）
→∇^2φ=ΣC_m ∇^2φ_mを計算
→ΣC_m ∇^2φ_m=-σδ(x,y-a/2)/ε0を満たすように定数C_mを決定

というような流れで各C_mが解析的に求まるはずです

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/12/12 12:11

x<0と0<xで分ければよいのでは?

x<0においてはCm=0(m<0)
0<xにおいてはCm=0(m>0)
としてしまえばよい。これならx→∞でもx→-∞でもφ,∂φ/∂xはともに"0"に収束します。

あとは連続の条件を当てはめてみればよい。