電磁気学の問題です

内球の半径がａ、外球殻の内外半径がそれぞれｂ、ｃである同心球導体が真空中に置かれている。
それぞれに＋Ｑおよび－Ｑの電荷を帯電させたときの静電エネルギーＷを求めよ。

解答：Ｗ＝Ｑ^2/8πε (1/a-1/b)

さっぱり分からないので解答までの導出を詳しく教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/01/03 17:14

まず，電荷分布ですが，添付した図のようになります（灰色の部分が導体で，黒い太線部分に電荷が存在します）．

電荷分布は球対称なので，中心からの距離がrの位置での静電場の強さEは，半径rの球面の内側に存在する電荷がすべて中心に集まったとして求められる静電場の強さと同じになります（ガウスの法則）．すなわち
E = 0 (0≦r<a), Q/(4πε0 r^2) (a<r<b), 0 (b<r).
静電場が0でないのはa<r<bの空間のみであり，ここに静電エネルギーが蓄えられています．

単位体積当たりの静電エネルギーは
w = ε0 E^2/2 = Q^2/(32π^2ε0 r^4)
なので，これをa<r<bの空間で積分すれば静電エネルギーが得られます：

W= ∫w dV = Q^2/(32π^2ε0)∫[a,b](1/r^4)・4πr^2 dr
= Q^2/(8πε0)∫[a,b](1/r^2)dr
= Q^2/(8πε0)(1/a-1/b).

この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2011/01/11 20:57

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/01/03 18:46

ANo.2に添付した図のような電荷分布の場合，(電場が0なので) b<rの空間は無限遠方まですべて等電位になってしまい，無限遠方を電位の基準にとると，r=bの位置の電位はVb = 0となります．したがって，r=aの位置の電位は(ANo.2の電場を積分して)

Va = -∫[∞,a]E dr = -∫[b,a]E dr
= -Q/(4πε0)∫[b,a] 1/r^2 dr
= Q/(4πε0)(1/a-1/b)

内球外面と外球殻内面との電位差は

V = Va-Vb = Q/(4πε0)(1/a-1/b)

となります．

ですので，W = QV/2の公式を用いると，

W = Q・Q/(4πε0)(1/a-1/b) /2 = Q^2/(8πε0)(1/a-1/b).

No.1 回答者： EleMech 回答日時： 2011/01/03 14:01

一般的に２球間の電位差から求めると思います。

Ｖ＝Ｑ／（４πεｒ）の公式から、
Ｖａ＝Ｑ／（４πεａ）
Ｖｂ＝－Ｑ／（４πεｂ）　（内径ｂがａ球に近い為、ｂを使用）

２球間の電位差なので、
Ｖａｂ＝Ｖａ－Ｖｂ
　　　＝Ｑ／（４πεａ）－－Ｑ／（４πεｂ）
　　　＝Ｑ／（４πε）・（１／ａ＋１／ｂ）

静電エネルギーは、Ｗ＝ＱＶ／２なので、ＶにＶａｂを代入すると、
Ｗ＝Ｑ・Ｑ／（２・４πε）・（１／ａ＋１／ｂ）
　＝Ｑ＾２／（８πε）・（１／ａ＋１／ｂ）

う～ん、私が間違っているのか、問題が間違っているのか、（１／ａ　＋　１／ｂ）のプラスになってしまいます。
２つの球に与えられているのは、＋、－のＱではなく、＋Ｑなのではないですか？