痔になりやすい生活習慣とは?

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

「∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ」の質問画像

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A 回答 (1件)

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2


= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)
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この回答へのお礼

無事解くことができました。1日中悩んでいたので本当にうれしいです。
丁寧に教えていただきありがとうございます!

お礼日時:2012/07/21 15:12

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について

1 / (x^2+1)^(3/2) の積分なのですが、これはどのように解いたら良いのでしょうか?
置換積分法で解こうとしても解けませんでしたし、部分積分法でもいまいち分かりませんでした。
ちなみに答えは x / (1 + x^2)^(1/2) + C となっていました。

どなたか解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正攻法で、
x=tanTとおくと、
dx=[1+(tanT)^2]dT
dx=[1+x^2]dT

∫dT/√(1+tanT^2)・・・(-π/2<T<π/2)
=∫dTcosT
=sinT・・・(sinTとtanTの符号が一致しているのを確認して、)
=x/√(x^2+1)
こんな感じでしょうか。

Q積分 ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

問題) By using the substitution u = 2x - 1 , or otherwise, find ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

これを私流に計算していくと 

∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 

1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du

1/2 ∫ ( u ^ -1 + u ^ -2) du

ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?

それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du  となり
1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?

Aベストアンサー

u = 2x - 1
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より

I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du

>これを私流に計算していくと 

>∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。 

>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du

>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du

>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?
これは間違いです。↑

>それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du  となり
I=(1/2) ∫((1/u) +(1/u^2)) du

>1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?
I=(1/2) ( ln |u| - (1/u) ) + c
これ↑なら合っているよ。
後はu=2x-1を代入してもとの変数xに戻せば良いです。

u = 2x - 1
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より

I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du

>これを私流に計算していくと 

>∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。 

>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du

>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du

>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?
これは間違いです。...続きを読む

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
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30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q∫1/(x^2+x-1)dxの計算方法を教えてください

この積分はどうやって計算すればいいのでしょうか。

数学の問題集の練習問題にあるため略解答しかないため変形の意味が解りませんでした。
x^2+x-1は部分分数にも分解できないし、(x+1/2)^2+3/4と変形してtanの公式に適用しようとしてみたのですが解答のようには変形できませんでした。

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∫1/(x^2+x-1)dx
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Aベストアンサー

>x^2+x-1は部分分数にも分解できないし
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Qarcsinxの積分は?

タイトルのとおり、arcsinx の積分を求めたいのですが、どうすればいいか分かりません。
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Aベストアンサー

 ∫x'arcsinx dx
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f(x)の逆関数の微分は f(x) = y とおくと 1/f'(y) になります。

arcsinx = y とおくと、
(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

また、x = siny より dx = cosy dy

よって、
 ∫x(arcsinx)'dx
= ∫siny・1/cosy・cosy dy
= ∫siny dy
= -cosy
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∫arcsinx dx = x・arcsinx + √(1-x^2)

Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
頭の悪い私には「なんで急にarctanが出てて来たの!?」という感じで非常に混乱しています。
誰か教えて頂けませんでしょうか?

Aベストアンサー

x^2=tとおくと
2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
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Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
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と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む