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a1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して
(1) a2 n+1-a2n = an -an-1 が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ
(2) an<2 となることを示せ
(3) lim an を求めよ
うまく数列の小さい文字(aの右下の1とかn)が打てないので ワードで書いたものを添付します。あと、√の中には1+anまで入ります。よろしくお願いします。

「a1=1 , an+1 = √1+an 」の質問画像

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A 回答 (3件)

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、


{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、
任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。

a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、
(2) も、帰納法で示せます。

(1) より前に、(2) を兼ねて、
0 < a[ ] < 2 か 1 < a[ ] < 2 を帰納法で示してしまったほうが、
話の流れがスムースかもしれません。

(1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、
lim[n→∞] a[n] は収束します。
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。

(*) Bolzano-Weierstrass の定理
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3be153db59f09c53 …

この回答への補足

Alice_44さま
本当にありがとうございます。だいたいわかりましたが、
最後の問題の 
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。
の二次方程式の解き方がが分かりません。教えていただけませんか?
厚かましいおねがいですみません。よろしくお願いします。

補足日時:2010/04/16 00:07
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この回答へのお礼

お礼遅くなりました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/27 10:59

No.1のKulesです。


添付をやっとみました~そういう問題なんですね(笑)
(1)の式が成り立つことを示すにはそのまま解けばいいだけです。つまりa_(n+1)=√(1+a_n)とa_n=√(1+a_(n-1))を用意して両辺2乗して引くだけです。ただしn-1を作った時点でn=1の時が考えられなくなるのでその点は注意して下さい。
単調数列であることを示すにはa_(n+1)-a_nが常に正か常に負であることが言えたらよいです。
で、この問題の場合a_nが常に正は簡単に言えそうですので、上で成り立つことを示した式をちょちょいと変形してやると、a_(n+1)-a_nとa_n-a_(n-1)が同符号であることが示せそうです。
(2)他にも方法はある気がしますが数学的帰納法でよいと思います。
(3)n→∞でってことですよね?多分(1)でa_nが単調増加であることが示せていると思うので、上限さえ設定すれば片側のはさみうちでけりがつきそうです。答えはたぶん(√5-1)/2のような気がしますが、全く自信はないです。解き方も忘れてしまったなあ…

以上参考になれば幸いです。
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この回答へのお礼

Kulesさま
ありがとうございました。2乗とかの記入方法が分からなくて、すごく見にくい問題になってしまったのに、解答いただいて、感謝です。それも二回も。答えあっています。すごいです。また、質問、出すと思うのでよろしくお願いします。本当にありがとうございました。

お礼日時:2010/04/14 10:30

とりあえずものすごく読みづらいですな…


・ルートの中身は()で括る(あるいは^(1/2)とする)
・下付き文字は_()で書く
・上付き文字は使わない。累乗は^を使う
と私はしています(しなくてもわかる時はこの限りではありません)
この書き方をすると
a_1=1,a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1 ,2,3・・)に対して
(1)a_(2n+1)-a_(2n)=a_n-a_(n-1)が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ
となると思うんですが…なりますかね?
(1)に至っては下付き文字の有効範囲がわからないし2が2乗のつもりなのか何なのかがわからないんで
ちょっと答えようがないです。
ということで「これで合ってるか?」を捕捉要求させていただきます。

この回答への補足

本当にありがとうございます。数式の記入方法まで教えていただき恐縮です。調べてもわからなくて、、、感謝です。教えていただいたように問題書き直します。
 a_1 = 1 , a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3・・)に対して、次の問題に答えよ。
(1) a^2_(n+1) - a^2_n = a_n - a_(n-1) が成り立つことを示し、数列{a_n}が単調数列であることを示せ
(2) a_n<2 となることを示せ
(3) lim a_n (n→∞)を求めよ
以上問題集に書いてあるとおりです。本当に何度もありがとうございます。よろしくお願いします。

補足日時:2010/04/14 10:33
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この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。ありがとうございました。これらもよろしくお願いします。

お礼日時:2010/04/27 11:00

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an+1-an= 05/05/22 17:01
√1+an-√1+an-1=(√1+an-√1+an-1)(√1+an+√1+an-1)/√1+an+√1+an-1
=(an-an-1)/(√1+an+√1+an-1)
ここで a1-a0=√2-1>0
an+1-an>0 (n=0,1,2...)

ここでx~2=1+x
x=1+√5/2,1-√5/2 ←この二行がよくわかりません。

a1=√2
a2=1+√1+a1 < √1+2=√3
a3=√1+a2 < √1+2=√3

よってan<√3と推測できる ←a3までしかしてないのにan<√3と何故していいのかわかりません。

数列anは単調増加、有界より収束する。

M=lim an (n→∞)とおく

M~2=1+M
M=1+√5/2 1-√5/2
M>0より ←これはどこからわかるのかわかりません
M=1+√5/2

よろしくおねがいします。

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=(an-an-1)/(√1+an+√1+an-1)
ここで a1-a0=√2-1>0
an+1-an>0 (n=0,1,2...)

ここでx~2=1+x
x=1+√5/2,1-√5/2 ←この二行がよくわかりません。

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a2=1+√1+a1 < √1+2=√3
a3=√1+a2 < √1+2=√3

よってan<√3と推測できる ←a3までしかしてないのにan<√3と何故していいのかわかりません。

数列anは単調増加、有界より収束する。

M=lim an (n→∞)とおく

M~2=1+M
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Aベストアンサー

>←この二行がよくわかりません。

数列の特性方程式です。
数列の漸化式で、
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最近はやらないこともあるのかも。

>←a3までしかしてないのにan<√3と何故していいのかわかりません。

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常に、an+1=√(1+an) と一定で、
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>M>0より ←これはどこからわかるのかわかりません

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f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
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→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

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まず左辺をxで微分することを考えます。
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log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
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|       学籍番号:123456     |
|       氏 名 :山田 太郎   |
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|    提出期限:平成17年8月11日(木) |
|     提出日:平成17年8月11日(木) |
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http://www.h7.dion.ne.jp/~okachan/page010.html
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では

参考URL:http://www.h7.dion.ne.jp/~okachan/page010.html

学校や科目によって教官方のお考えや方針があるので一概には言えませんが、
基本的に『表紙』を1枚作ったほうがいいと思います。
私が提出する際は以下のようにします。

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|     レポートの題名        |
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Qy=e^x^x 微分 問題

y=e^x^x 微分 問題

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>y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

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