No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x=1のときは等差数列の和1+2+3+・・・+nで
(与式)=Σ(k=1 to n)k=n(n+1)/2
x≠1のときは
2つ主な解法があって,
[1]数Aの範囲の基本的解法(重要)
S=x+2x^2+3x^3+・・・+(n-1)x^(n-1)+nx^n ・・・(1)
xを両辺に掛けて1項右にずらすと
xS= x^2+2x^3+3x^4+・・・+(n-1)x^n+nx^(n+1) ・・・(2)
(1)-(2)より右辺は同じ次数の項を計算することに注意して
(1-x)S=x+x^2+x^3+・・・+x^n-nx^(n+1)
ここで,右辺は最後の1項以外は等比数列の和の形なので, x≠1より
(1-x)S=x{x^n -1}/(x-1) -nx^(n+1)=-{n(x-1)x^(n+1)-x^(n+1)+x}/(x-1)
=-{nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1)+x}/(x-1)
よって(1-x)で割って
S={nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1)+x}/(x-1)^2
[2][数(3)の]微分法を使う方法(理系向き)
等比数列の和の公式
Σ(k=1 to n)x^k =(x^(n+1)-x)/(x-1)
は任意のx(≠1)で成立[恒等式]より
この両辺をxで微分して(右辺は商の微分法などによる)
Σ(k=1 to n) kx^(k-1)=[{(n+1)(x^n)-1}*(x-1)-(x^(n+1)-x)*1]/(x-1)^2
={nx^(n+1)-(n+1)x^n +1}/(x-1)^2
この両辺にxを掛けて
Σ(k=1 to n) kx^k={nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1) +x}/(x-1)^2
No.3
- 回答日時:
たびたび、すみません、、、、 NO1の者です、、、、
僕の回答完全に間違いですね^^ 欠陥(笑) って笑ってる場合じゃないですね、本当に迷惑をおかけしてごめんなさい、、、、
x^k の前の文字が定数だったら成り立つと思うのですが、この場合はNGですねぇ~
NO3の方が回答してくださってる、[1]の解法がBESTみたいですね、、、、
先生に前に説明してもらった記憶がよみがえりました、、、、、
高校生なんです、、、、
本当に、でっしゃばったことをして、ごめんなさい、、、、
ガキの出る幕じゃなかったですね、、、、、、
_(._.)_ ご迷惑をおかけしました、、、、、
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