等比級数の和 ∑[n=0,∞]e^(-2nπ) この等比級数の和は求められますか？

等比級数の和
∑[n=0,∞]e^(-2nπ)
この等比級数の和は求められますか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/15 05:53

∑[n=0,∞]e^(-2nπ)

は
初項a=1
公比r=e^(-2π)
の
等比級数で

π>3
2π>6
e>2
e^(2π)>2^6=64
1/e^(2π)<1/64<1
公比
|r|=e^(-2π)=1/e^(2π)<1
だから
等比級数は収束し

∑[n=0,∞]e^(-2nπ)
=∑[n=0,∞]ar^n
=ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+…
=a/(1-r)
=1/{1-e^(-2π)}
=e^(2π)/{e^(2π)-1}

この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2023/01/15 10:42

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/14 23:29

高校の教科書にあった公式どおり。

∑[n=0,∞]e^(-2nπ) = ∑[n=0,∞] { 1/e^(2π) }^n = 1/{ 1 - 1/e^(2π) }
= { e^(2π) }/{ e^(2π) - 1 }.
特にヒネリもない。

この回答へのお礼

確かにそのままでした。ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/15 10:41

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/14 22:13

はい、公式通りです。

（これがもしe^(-2inπ)だと難しい議論が必要になりますが。）

この回答へのお礼

お手数ですが、やり方を教えて頂けますでしょうか。

お礼日時：2023/01/14 22:47