数bの問題です。 初項が-29、公差が3である等差数列anにおいて初項から第n項までの和をsnとする

数bの問題です。
初項が-29、公差が3である等差数列anにおいて初項から第n項までの和をsnとする
snが正の数となる最小のnの値を求めよ
がわかりません。教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/16 17:39

＞初項が-29、公差が3である等差数列anにおいて初項から第n項までの和をsn

Sn = -29 + (-29 + 3) + (-29 + 3 + 3) + ・・・ + [-29 + 3 × (n - 1)]
　= (-29) × n + 3 × [1 + 2 + 3 + ・・・ + (n - 1)]
　= -29n + (3/2)(n - 1)[(n - 1) + 1]
　= -29n + (3/2)n(n - 1)

と書けることは分かりますか？

これをさらに変形して
　Sn = -29n + (3/2)n^2 - (3/2)n
　　= (3/2)n^2 - (61/2)n
　　= (n/2)(3n - 61)
と書けば、これが正となるのは

　(n/2)(3n - 61) > 0

n>0 なので、
　3n - 61 > 0
→　3n > 61
→　n > 20 + 1/3
n は整数なので
　　n ≧ 21

従って、n の最小値は 21。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/05/17 00:06

高校数学の数列はテクニック的に教えられていますね！大学の1年とある予備校の講習会で初めて　差分・和分を習いましたが　数列を統一的に理解でき

面白かったのですが　ただ　高校生には微積分と似ており混乱しますので
( 高校を卒業してからの春休みがいいと思います。1ヶ月あればマスターできるでしょうから！) 公式が微積分と似ていますが微妙に違うからです。大学の入試問題を差分・和分で解ける問題がありますのでチャレンジするのも興味深いです。また　漸化式は差分方程式と関係あるのではと思うのですがホームページにも資料がないのでわからないのが残念です。暫く問題を解かずにいたら忘れてしまいましたが　また勉強すれば思い出せると思っています。一言で言えば　差分は　△f(x)=f(x+h)-f(x)
であり　微分の分母を消した形で　微積分が連続に対して差分・和分は
不連続である違いがあります。参考まで！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/16 18:24

Sn を n の式で求めてしまえばよいです。

an が等差数列 an = -29 + 3(n-1) なので、
Sn = (-29) + (-26) + (-23) + ... + (-29 + 3(n-1)),
項の並び順を左右逆にすると、
Sn = (-29 + 3(n-1)) + (-29 + 3(n-2)) + ... + (-29).
項の縦位置を揃えて書いて、同じ位置の項どうし足すと、
2Sn = (-61+3n) + (-61+3n) + ... + (-61+3n)
　　= (-61+3n)・n.
よって Sn = (-61+3n)n/2. 等差数列の和の公式どおりです。

Sn > 0 になるのは、 n が -61+3n > 0 を満たす整数のときだから、
n > 61/3 より、そのような最小の n は n = 21.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/16 16:58

初項が-29、公差が3である等差数列

a(n)
=-29+3(n-1)
=3n-32

s(n)
=Σ_{k=1～n}a(k)
=Σ_{k=1～n}(3k-32)
=3(Σ_{k=1～n}k)-32n
=3n(n+1)/2-32n
=n(3n+3-64)/2
=n(3n-61)/2
>0

n(3n-61)/2>0
↓n>0だから
3n-61>0
3n>61
n>61/3
n>20+1/3
↓nは整数だから
n≧21

∴nの最小値は

n=21