
n≧2に対して、An - An-1= 2nの時、Anの一般項は?
(A1=2)
Anは階差数列なので、
An+1 - An= 2(n+1) としてやりたいんですが、
勝手にnをn+1に変えたのでnの範囲とか、シグマの範囲がいつもの(階差の公式の)k=1〜n-1の n-1が変わる気がするんですが、
答えでは、nをn+1に変えて、範囲も変わらず解いていました。
これは良いんですか?
また、わざわざnをn+1に変えないで
An-An=2n で階差の公式を使ってAnを出せますか?
A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.5
- 回答日時:
A(k) - A(k-1) = f(k) を k = 2,3,4,...,n で Σ して
A(n) - A(1) = Σ[k=2...n] f(k) としても、
A(k+1) - A(k) = f(k+1) と変形して k = 1,2,3,...,n-1 で Σ して
A(n) - A(1) = Σ[k=1...n-1] f(k+1) としても、
得られる右辺はが f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n) であることに
違いはありません。同じ式なんです。
Σ[k=2...n] f(k) と Σ[k=1...n-1] f(k+1) との違いは、
何を k と呼ぶことにしたかの差だけです。
No.4
- 回答日時:
階差数列に限らず、漸化式は複数(高校数学ではほぼ2つ)の項の関係を等式で表したものに過ぎない。
なので、漸化式のnをn+1に変えて一般項を求めても良い。
ただし、導出した一般項をA[n]ではなくA[n+1]で表すのはよろしくない。
No.3
- 回答日時:
An - An-1= 2nの時
An=An-1+2n=An-2+2n+2(n-1)=A1+2n+2(n-1)+2(n-2)+・・・+2(n-n+2)+2(n-n+1)
=2+2+4+6+8+・・・+2(n-2)+2(n-1)+2n=2+2(1+2+3+・・・・+n)=2+n*(n+1)
でダメっすか
No.2
- 回答日時:
質問者様の考えている「階差の公式」が何かによって変わってきそうですが
数列 A(n) に対して、A(n) の階差数列 B(n) を考えると、A(n+1) - A(n) = B(n)
A(n) = A(1) + ∑:(k=1 to (n-1)):B(k) が成り立つ
だとして回答します
A(n) - A(n-1) = 2*n = 2*((n-1)+1) と
A(n+1) - A(n) = 2*(n+1) は同じ数列を示していて
B(n) = A(n+1) - A(n) = 2*(n+1) がB(n) を、上の式では B(n-1) を表現しています
公式では
∑:(k=1 to (n-1)):B(k) を計算するので、必要なのは B(k) = の表現ですよね
また、この公式でk=1 to (n-1) になるのは、A(n+1) - A(n) = B(n) の関係から
A(n)=A(n-1)+B(n-1)=A(n-2)+B(n-2)+B(n-1)=.....=A(1)+B(1)+......+B(n-1) となるからで
B(n-1)= と書かれているか、B(n)= と書かれているかで違うことはありません
もし仮に
A(n) - A(n-1) = B(n) と異なる定義とすれば、当然
A(2) = A(1) + B(2)、
A(n)=A(n-1)+B(n)=A(n-2)+B(n-1)+B(n)=.....=A(1)+B(2)+......+B(n) となって
k=2〜n の合計を計算することになると思います
No.1
- 回答日時:
公式の仕組みを示しますからよく理解してください
その前に
An - An-1= 2n(A1=2、n≧2)
のような数列の表し方を、「anの機能的定義」と言って
A1=2から 漸化式を使ってドミノ倒し式に
A2=4+2=6
A3=6+6=12
・
・
・
というように各項が決まる
これを機能的定義1と名付けることにします
An+1 - An= 2(n+1)(A1=2,n≧1)も機能的定義で上とは少しだけ表現が異なるが
A1=2
A2=6
A3=12
・
・
・
という数列を表していることに変わりはない
こちらは機能的定義2とします
したがってどちらの定義であらわされた漸化式もAnは数列の第n項を表していることになる
ゆえに、どちでも、初項からAnまでの階差数列の内容と項数は変わらない
ここからが本題!!
参考例
a1ーa2ーa3ーa4・・・a[n-2]ーa[n-1]ーa[n]ーa[n+1] ・・・元の数列
b1 -b2 -b3 ・・・ b[n-2]- b[n-1]-b[n] ・・・元の数列の隣り合う者同士の差(すなわち階差数列)
いうまでもなく a2=a1+b1
a3=a2+b2
a[n-1]=a[n-2]+b[n-2]
an=a[n-1]+b[n-1]
an+1=an+bn
という関係があります
参考からわかる通り
A[n]-a[n-1]という階差数列は
a1からanまでの階差なら全部でn-1項になります
a1からan+1までの階差なら全部でn項です
したがって、機能的定義の1番目でも2番目でも
参考例のような数列anと階差数列を表しているのだから
anを求めたいのなら
an=a[n-1]+b[n-1]=(a[n-2]+b[n-2])+b[n-1]
・・・=a1+b1+b2+b3+・・・b[n-1]
=a1+Σ(k=1~n-1)bk
となります
これが公式の仕組み!
もしan+1を求めるなら
an+1=a1+b1+b2+b3+・・・b[n-1]+b[n]
=a1+Σ(k=1~n)bk
ですが
あなたが求めたいのはanですから
a1+Σ(k=1~n-1)bkを使うことになるのです
(機能的定義の1、2いずれで表されている場合でもanを階差数列を用いて求める仕組みは同じです)
この数列anと階差数列の関係をしっかり把握していれば
an-a[n-1]=2nで解くことだってできるはずです(ただし、nをn+1に置き換える場合よりややこしくなることは覚悟する必要があります)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 計算機科学 {an}5,7,11,19,35 階差数列を使って数列anを求める問題です 答えが2^n+3らしいで 2 2023/06/15 16:30
- 数学 a1=a b1=b an+1=5an-bn cn=an+1-an (n=1、2、3…) を満たしてい 2 2022/11/05 17:48
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 数学(階差数列の一般項を求める問題) 写真のピンク色の線の部分 これは最後の「一般項an」からn=1 1 2023/07/04 19:43
- 数学 次の数列{an}の一般校を求めよ 0、5、16、33、56… 解説の写真の部分がわかりません、 数列 1 2023/06/16 15:11
- 計算機科学 隣接3項間漸化式についての質問です。画像の③か④のどちらかをan+1=pan+q^nの解き方で一般項 1 2022/11/24 19:52
- 数学 indicator func 2 2022/12/01 13:53
- 数学 隣接3項間漸化式についての質問です。画像の③か④のどちらかをan+1=pan+q^nの解き方で一般項 2 2022/11/22 21:42
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
- 数学 初項3、公差6の等差数列{an}と、初項1、公差4の等差数列{bn}がある。この2つの数列に共通に含 2 2022/03/24 18:57
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
それもChatGPT!?と驚いた使用方法を教えてください
仕事やプライベートでも利用が浸透してきたChatGPTですが、こんなときに使うの!!?とびっくりしたり、これは画期的な有効活用だ!とうなった事例があれば教えてください!
-
「これはヤバかったな」という遅刻エピソード
寝坊だったり、不測の事態だったり、いずれにしても遅刻の思い出はいつ思い出しても冷や汗をかいてしまいますよね。
-
モテ期を経験した方いらっしゃいますか?
一生に一度はモテ期があるといいますが、みなさんどうですか? いまがそう! という方も、「思い返せばこの頃だったなぁ」という方も、よかったら教えて下さい。
-
コーピングについて教えてください
皆さんはストレスを感じたとき、どのような方法や手段、テクニックで対処していますか?
-
思い出すきっかけは 音楽?におい?景色?
記憶をふと思い出すきっかけは 音楽、におい、景色 どれですか?
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
摩擦力による等速円運動
物理学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・一番好きなみそ汁の具材は?
- ・泣きながら食べたご飯の思い出
- ・「これはヤバかったな」という遅刻エピソード
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・いちばん失敗した人決定戦
- ・思い出すきっかけは 音楽?におい?景色?
- ・あなたなりのストレス発散方法を教えてください!
- ・もし10億円当たったら何に使いますか?
- ・何回やってもうまくいかないことは?
- ・今年はじめたいことは?
- ・あなたの人生で一番ピンチに陥った瞬間は?
- ・初めて見た映画を教えてください!
- ・今の日本に期待することはなんですか?
- ・集中するためにやっていること
- ・テレビやラジオに出たことがある人、いますか?
- ・【お題】斜め上を行くスキー場にありがちなこと
- ・人生でいちばんスベッた瞬間
- ・コーピングについて教えてください
- ・あなたの「プチ贅沢」はなんですか?
- ・コンビニでおにぎりを買うときのスタメンはどの具?
- ・おすすめの美術館・博物館、教えてください!
- ・【お題】大変な警告
- ・洋服何着持ってますか?
- ・みんなの【マイ・ベスト積読2024】を教えてください。
- ・「これいらなくない?」という慣習、教えてください
- ・今から楽しみな予定はありますか?
- ・AIツールの活用方法を教えて
- ・最強の防寒、あったか術を教えてください!
- ・歳とったな〜〜と思ったことは?
- ・モテ期を経験した方いらっしゃいますか?
- ・好きな人を振り向かせるためにしたこと
- ・スマホに会話を聞かれているな!?と思ったことありますか?
- ・それもChatGPT!?と驚いた使用方法を教えてください
- ・見学に行くとしたら【天国】と【地獄】どっち?
- ・これまでで一番「情けなかったとき」はいつですか?
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・あなたの「必」の書き順を教えてください
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・人生最悪の忘れ物
- ・あなたの習慣について教えてください!!
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
初項から第n項までの和SnがSn=2...
-
シグマの計算の公式で1/2n(n+1)...
-
公差または公比の集合が等差数...
-
n≧2に対して、An - An-1= 2nの...
-
一般項
-
数列
-
重回帰分析での交差項の意味す...
-
群数列
-
x² + x +3xy +2y²+3y-2を因数分...
-
数学B シグマについて 問54の(1...
-
名古屋市大の入試問題がさっぱ...
-
数列 {An}(n=項数)について...
-
素因数分解の問題について
-
数列の問題なんですが
-
整数の和?の問題
-
数列「1番の問題です。」 一般...
-
数列の問題がわかりません! 1 ...
-
この赤で書いたところはなんの...
-
広辞苑 第5版の「俺」
-
近似式(1+r)^n≒1+nrの...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
シグマの計算の公式で1/2n(n+1)...
-
重回帰分析での交差項の意味す...
-
レポートの作成で引用した部分...
-
latexで項に下線を引いて添え字
-
Excel のグラフで両側に目盛り...
-
n≧2に対して、An - An-1= 2nの...
-
フィボナッチ数列における極限
-
近似式(1+r)^n≒1+nrの...
-
数列のKを使う時ってどんな時で...
-
なぜこれらは整式ではないので...
-
40人中20位の順位は、上位...
-
文字式の順番について 中3の展...
-
初項から第n項までの和SnがSn=2...
-
数Bの等差数列についての質問で...
-
数学の質問です。 8+7+6+5+......
-
初項はどうしてaなのでしょうか
-
数列の和。偶数奇数に分かれる場合
-
郡数列
-
群数列の問題がわかりません。 ...
-
公差または公比の集合が等差数...
おすすめ情報