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n≧2に対して、An - An-1= 2nの時、Anの一般項は?
(A1=2)

Anは階差数列なので、
An+1 - An= 2(n+1) としてやりたいんですが、

勝手にnをn+1に変えたのでnの範囲とか、シグマの範囲がいつもの(階差の公式の)k=1〜n-1の n-1が変わる気がするんですが、
答えでは、nをn+1に変えて、範囲も変わらず解いていました。
これは良いんですか?
また、わざわざnをn+1に変えないで
An-An=2n で階差の公式を使ってAnを出せますか?

A 回答 (5件)

A(k) - A(k-1) = f(k) を k = 2,3,4,...,n で Σ して


A(n) - A(1) = Σ[k=2...n] f(k) としても、
A(k+1) - A(k) = f(k+1) と変形して k = 1,2,3,...,n-1 で Σ して
A(n) - A(1) = Σ[k=1...n-1] f(k+1) としても、
得られる右辺はが f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n) であることに
違いはありません。同じ式なんです。
Σ[k=2...n] f(k) と Σ[k=1...n-1] f(k+1) との違いは、
何を k と呼ぶことにしたかの差だけです。
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階差数列に限らず、漸化式は複数(高校数学ではほぼ2つ)の項の関係を等式で表したものに過ぎない。


なので、漸化式のnをn+1に変えて一般項を求めても良い。

ただし、導出した一般項をA[n]ではなくA[n+1]で表すのはよろしくない。
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An - An-1= 2nの時


An=An-1+2n=An-2+2n+2(n-1)=A1+2n+2(n-1)+2(n-2)+・・・+2(n-n+2)+2(n-n+1)
=2+2+4+6+8+・・・+2(n-2)+2(n-1)+2n=2+2(1+2+3+・・・・+n)=2+n*(n+1)
でダメっすか
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質問者様の考えている「階差の公式」が何かによって変わってきそうですが



数列 A(n) に対して、A(n) の階差数列 B(n) を考えると、A(n+1) - A(n) = B(n)
A(n) = A(1) + ∑:(k=1 to (n-1)):B(k) が成り立つ

だとして回答します

A(n) - A(n-1) = 2*n = 2*((n-1)+1) と
A(n+1) - A(n) = 2*(n+1) は同じ数列を示していて
B(n) = A(n+1) - A(n) = 2*(n+1) がB(n) を、上の式では B(n-1) を表現しています

公式では
∑:(k=1 to (n-1)):B(k) を計算するので、必要なのは B(k) = の表現ですよね

また、この公式でk=1 to (n-1) になるのは、A(n+1) - A(n) = B(n) の関係から
A(n)=A(n-1)+B(n-1)=A(n-2)+B(n-2)+B(n-1)=.....=A(1)+B(1)+......+B(n-1) となるからで
B(n-1)= と書かれているか、B(n)= と書かれているかで違うことはありません

もし仮に
A(n) - A(n-1) = B(n) と異なる定義とすれば、当然
A(2) = A(1) + B(2)、
A(n)=A(n-1)+B(n)=A(n-2)+B(n-1)+B(n)=.....=A(1)+B(2)+......+B(n) となって
k=2〜n の合計を計算することになると思います
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公式の仕組みを示しますからよく理解してください



その前に
An - An-1= 2n(A1=2、n≧2)
のような数列の表し方を、「anの機能的定義」と言って
A1=2から 漸化式を使ってドミノ倒し式に
A2=4+2=6
A3=6+6=12



というように各項が決まる
これを機能的定義1と名付けることにします

An+1 - An= 2(n+1)(A1=2,n≧1)も機能的定義で上とは少しだけ表現が異なるが
A1=2
A2=6
A3=12



という数列を表していることに変わりはない
こちらは機能的定義2とします

したがってどちらの定義であらわされた漸化式もAnは数列の第n項を表していることになる
ゆえに、どちでも、初項からAnまでの階差数列の内容と項数は変わらない

ここからが本題!!
参考例
a1ーa2ーa3ーa4・・・a[n-2]ーa[n-1]ーa[n]ーa[n+1]   ・・・元の数列
 b1 -b2 -b3 ・・・  b[n-2]- b[n-1]-b[n]    ・・・元の数列の隣り合う者同士の差(すなわち階差数列)
いうまでもなく a2=a1+b1
a3=a2+b2
a[n-1]=a[n-2]+b[n-2]
an=a[n-1]+b[n-1]
an+1=an+bn
という関係があります

参考からわかる通り
A[n]-a[n-1]という階差数列は
a1からanまでの階差なら全部でn-1項になります
a1からan+1までの階差なら全部でn項です
したがって、機能的定義の1番目でも2番目でも
参考例のような数列anと階差数列を表しているのだから
anを求めたいのなら
an=a[n-1]+b[n-1]=(a[n-2]+b[n-2])+b[n-1]
・・・=a1+b1+b2+b3+・・・b[n-1]
=a1+Σ(k=1~n-1)bk
となります
これが公式の仕組み!

もしan+1を求めるなら
an+1=a1+b1+b2+b3+・・・b[n-1]+b[n]
=a1+Σ(k=1~n)bk
ですが
あなたが求めたいのはanですから
a1+Σ(k=1~n-1)bkを使うことになるのです
(機能的定義の1、2いずれで表されている場合でもanを階差数列を用いて求める仕組みは同じです)

この数列anと階差数列の関係をしっかり把握していれば
an-a[n-1]=2nで解くことだってできるはずです(ただし、nをn+1に置き換える場合よりややこしくなることは覚悟する必要があります)
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