隣接3項間漸化式についての質問です。画像の③か④のどちらかをan+1=pan+q^nの解き方で一般項

隣接3項間漸化式についての質問です。画像の③か④のどちらかをan+1=pan+q^nの解き方で一般項anを求めてはいけないですか？自分自身理解が微妙なのでおかしいことを言ってるかもしれないです。アドバイスよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2022/11/22 23:29

an+1=pan+q^n

であれば、両辺を　q^n　で割って解けばいいのでは？

例えば、
③の両辺を　5^(n+1)　で割ると
a(n+1)/5^(n+1) + (2/5)・a(n)/5^n = 1/25
b(n)=a(n)/5^n 　・・・・・・　（Ａ）とおくと、
ｂ(n+1)+(2/5)b(n) = 1/25
b(n+1) = -(2/5)b(n) + 1/25 ・・・・・・　①
ここで、
x = -(2/5)x + 1/25 を解くと
(7/5)x = 1/25
x = 1/35
これより、①は
b(n+1) - 1/35 = -(2/5)(b(n) - 1/35)　・・・・・②
とおける。
これより、数列{b(n) - 1/35} は、
初項　b(1) - 1/35 = a(1)/5 - 1/35 =0/5 - 1/35 = -1/35
公比　-(2/5)
の等比数列だから、
b(n) - 1/35 = -(1/35)・{-(2/5)}^(n-1)
（Ａ）を代入して、
a(n)/5^n - 1/35 = -(1/35)・{-(2/5)}^(n-1)
a(n)/5^n =[1 -{-(2/5)}^(n-1)] /35
a(n) =[5^(n-1) - (-2)^(n-1)] /7
のような解き方ですか？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/23 22:11

「an+1=pan+q^nの解き方」ってどういう方法なんだろう.