因数分解について

Question

これまでに何度も母から教わっているのですが
テスト等で全体的に見て、問題の比率が少なく
すぐ忘れてしまい、その度に聞いての繰り返しになっているところがあります。

そのためか全然定着せず、問題を見て
「あっあの教えてもらった解き方だ」と思っても、「あれ、ここどっちだったけ？」とかになってしまいます。

それで、母にまた教えてもらおうと思ったのですが
そういう問題に出会ったわけでも無いのと
全体的に記憶が曖昧になっているため、例題をどう出していいかも分からないため
こちらで質問させていただきます。

その解き方というのは
（例題を作る能力が無いため、例題が間違っている可能性があるので、その場合はきちんと答えが出るような例題を提示して、解説していただけると助かります）

ｘ２＋５ｘ－１７
（エックス２乗、プラス５エックス、マイナス１７）

を因数分解する場合に

（ｘ＋２ｘ）（ｘ＋３ｘ）とか
（ｘ＋７ｘ）（ｘ－２ｘ）とかすると

ｘ２＋５ｘの部分は当たっていますが、後半が－１７ではなく、
＋５や、－１４になってしまいます。

その際に、（ｘ＋２ｘ）（ｘ＋３ｘ）の後に、
＋５と－１７だと２２の差があるから、－２２とか＋２２とか書くような解き方をする因数分解があったかと思いますが
（正攻法、単純に因数分解の公式を使っても解けないような問題の場合の解き方です）

ｘ２＋５ｘ－１７の
前方部分（ｘ２＋５ｘ）の部分だけを因数分解して
－１７部分は、別に帳尻合わせ？をする解き方の
帳尻合わせの部分が自分の中ですごく曖昧です。

その部分を教えて頂きたいです。
（解説しているサイトでも構いません）

adachirusan · Accepted Answer

こんばんは。
帳尻合わせと聞くと私も因数分解ではなくて平方完成の方がしっくりくる気がします。

x^2 - 2x - 18 だったら、
x^2 - 2x の部分が (x - 1)^2 から1を引いたものなので、

x^2 - 2x - 18 = (x - 1)^2 - 1 - 18

最終的に (x - 1)^2 - 19  になります。
でも、これだと積のかたちではないので因数分解にはならないです。
（二次関数の頂点を求めたりする時に使います）
違っていたらごめんなさいm(_ _)m

berokanda · Answer

割り込み失礼します。
ひょっとしてこういうことですか？

↓

(x^2)+5x-17
=(x^2)+2×(5/2)x+((5/2)^2)-((5/2)^2)-17

（公式(A+B)^2=(A^2)+2AB+(B^2)を使って）

={(x+(5/2))^2}-((5/2)^2)-17
={(x+(5/2))^2}-93/4
={(x+(5/2))^2}-((√93)/2)^2
={(x+(5/2))-(√93)/2}{(x+(5/2))+(√93)/2}

（公式（A^2)-(B^2)=(A-B)(A+B)を使って）

={x+(5/2)-(√93)/2}{x+(5/2)+(√93)/2}

（ただし、X^2というのはXの二乗を表します。X2だとXの2倍と
区別つかないので）

これは#8で言及されている解の公式を使うのと同じことです。
たすき掛けですぐ思いつかないときや、この例題のように整数
の零点を持たないとき、「えいやっ」と機械的に解の公式を使う
ことはままあることです。

asuncion · Answer

仮に、『因数分解における帳尻合わせの公式』なるものが
存在するとします。
さて、それでは、
x^2 + 5x + 6
これを、その公式を使って因数分解してみてください。

asuncion · Answer

＞x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方があるかと思いますが

そのような方法はありません。
x^2 - 2x - 18 を（むりやり）因数分解するならば、
x^2 - 2x - 18 = 0 とおいて得る2次方程式の解
x = 1 ± √(1 + 18) = 1 ± √19
を使って、(x - 1 - √19)(x - 1 + √19)
とするしかありません。

因数分解における帳尻合わせっていうのが、全然わかりません。

asuncion · Answer

念のためにお聞きします。
因数分解と平方完成とが
ごっちゃになっている、
ということはありませんね？

asuncion · Answer

＞x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方

そもそも、そういう解き方はありません。この点に気づいていただきたいです。

1個目の例題
x^2 + 5x - 17

2個目の例題
x^2 - 2x - 18

ともに、(x - a)(x - b)と因数分解できると仮定したとき、
a, bは整数ではありません。
したがいまして、学校のテストなどにおいて、
これら2つの式を因数分解する、という問題はまず出題されません。

これら2つの式をどうしても因数分解したければ、当該の式 = 0とおいて得る
2次方程式の解（整数以外の解）を求めるしかありません。

asuncion · Answer

＞後、回答の主旨が分かりません。
＞できましたら質問に沿った回答をお願いします。

どうしてこのような補足が付くのか、全くもって理解に苦しみます。

質問者さんが最初に提示された
x^2 + 5x - 17
においては、
かけて -17
足して +5
になる2つの数を見つけることは苦労を伴うので、それよりはもっと簡単であると思われる

x^2 - 2x - 15
という例題でもって
かけて -15
足して -2
になる2つの数（簡単な整数）を見つけてください。そうすれば因数分解できます。という回答をしました。

思考停止状態に陥っていないでしょうか。

ORUKA1951 · Answer

横から失礼します。
No.3への補足
＞できましたら質問に沿った回答をお願いします。
　私がasuncionさんなら、カチンと来るでしょうね。
　まさに的を射たピッタシのアドバイスですよ。相手が何を言おうとしているかが理解できない。数式が示していることを理解できない・・・ことが問題なのですよ。ここまで読んで、先に進めなくなるようでしたら、それが数学が解けない本質です。

質問文を読む限りでは、根の方程式を学ぶ前の二次方程式の因数分解のテクニックを身につけたいということだと思われます。
No.3でasuncionさんが示された例題「x² - 2x - 15」を因数分解するということは、どういう意味かわかってませんよね。
　y=x² - 2x - 15 
と言うグラフを考えたとき、このグラフがx軸と交わる点では、yの値が0になると言うことですね。
　この式が(x+a)(x+b)と因数分解できると、(x+a)× 0 あるいは、0×(x+b)の時 y=0にはy=0になりますよね。
　ここで、(x+a)(x+b)を開くと、x² + (a+b)x + ab になりますね。このaとbを見つけるのが因数分解ですから、
(a+b) = -15　足して-15
a*b = -2　　　掛け合わせて -2
になる数字を見つけることに他なりません。

まあ、因数分解はいずれ根の方程式を学べば不要な知識ですが、因数分解の考え方は平方完成と共に、微分を学ぶ前段階では重要な数学的手法です。

とき方と言う技術ではなく、なぜそうなるかを身につけないと、いくら練習問題をしてもまったく意味ないですよ。

asuncion · Answer

またまた失礼。

x^2 - 2x - 15
という例題を考えてみましょうか。
かけて -15
足して -2
になる2つの数を考えてみてください。

asuncion · Answer

おっと失礼。

＞実数の範囲では因数分解できません。

できますが、よくある練習問題に載っているようなきれいな値にはならない、ということです。

また、

＞（ｘ＋２ｘ）（ｘ＋３ｘ）とか

これは、3x・4x = 12x^2

＞（ｘ＋７ｘ）（ｘ－２ｘ）とかすると

これは8x・(-x) = -8x^2
となり、元の問題とは似ても似つかなくなっています。

x^2 - 3x - 15
という例題を考えてみましょうか。
かけて -15
足して -3
になる2つの数を考えてみてください。

因数分解について

こんばんは。

割り込み失礼します。

仮に、『因数分解における帳尻合わせの公式』なるものが

＞x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方があるかと思いますが

念のためにお聞きします。

＞x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方

＞後、回答の主旨が分かりません。

横から失礼します。

またまた失礼。

おっと失礼。

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