マンガでよめる痔のこと・薬のこと

面積分
(x^2+y-z)dS
S:2x+y+z=2, x,y,z>=0
の解き方を教えて下さい

A 回答 (1件)

∬₍s₎{x²+y-z}dS  S:2x+y+z=2, x,y,z>=0


=√6/6

計算ミスってなければ・・!
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2018/12/25 00:23

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Q整数論

ある自然数a,k,d(k,dは互いに素)について

・a(16a+1)=k^3
・16a-1=k(2k+d)(2k-d)

上記2式を満たすa,k,dの組合せは存在しないことを証明せよ

この問題の解法がわかる方がいましたら、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

a=0(mod3)を仮定すると 16a-1=2(mod3)
↓k^3=a(16a+1)=0(mod3)だから
k=0(mod3)
↓16a-1=k(2k+d)(2k-d)=0(mod3)
16a-1=0(mod3)
16a-1=2(mod3)
に矛盾するから
a≠0(mod3)

a=1(mod3)を仮定すると 16a+1=2(mod3)
16a-1=0(mod3)
↓k(2k+d)(2k-d)=16a-1=0(mod3)
k=0(mod3)
↓a(16a+1)=k^3=0(mod3)
{a=0(mod3)}.or.{16a+1=0(mod3)}
{a=1(mod3)}&{16a+1=2(mod3)}
に矛盾するから
a≠1(mod3)

a=2(mod3)を仮定すると 16a-1=1(mod3)
16a+1=0(mod3)
↓k^3=a(16a+1)=0(mod3)
k=0(mod3)
↓16a-1=k(2k+d)(2k-d)=0(mod3)
16a-1=0(mod3)
16a-1=1(mod3)
に矛盾するから
a≠2(mod3)

a≠0,1,2(mod3)だから
与式を満たすa,k,dがない事が示された

a=0(mod3)を仮定すると 16a-1=2(mod3)
↓k^3=a(16a+1)=0(mod3)だから
k=0(mod3)
↓16a-1=k(2k+d)(2k-d)=0(mod3)
16a-1=0(mod3)
16a-1=2(mod3)
に矛盾するから
a≠0(mod3)

a=1(mod3)を仮定すると 16a+1=2(mod3)
16a-1=0(mod3)
↓k(2k+d)(2k-d)=16a-1=0(mod3)
k=0(mod3)
↓a(16a+1)=k^3=0(mod3)
{a=0(mod3)}.or.{16a+1=0(mod3)}
{a=1(mod3)}&{16a+1=2(mod3)}
に矛盾するから
a≠1(mod3)

a=2(mod3)を仮定すると 16a-1=1(mod3)
16a+1=0(mod3)
↓k^3=a(16a+1)=0(mod3)
k=0(mod3)
↓16a-1=k(2k+d)(2k-d)=0(mod3)
16a-1=0(mod3)...続きを読む

Q高校生レベルの数学Ⅰ問題だと思います 解き方を教えてください ※前回、前々回の投稿とは違う問題です

高校生レベルの数学Ⅰ問題だと思います
解き方を教えてください
※前回、前々回の投稿とは違う問題です

Aベストアンサー

公式:(x+y)²=x²+2xy+y²を移項して
x²+y²=(x+y)²-2xy
=a²-2b・・・な

公式:x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)および「な」を利用して
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
=(x+y){(x²+y²)-xy}
=a{(a²-2b)-b}
=a{a²-3b}・・・に

(x²+y²)(x³+y³)=x⁵+y⁵+x³y²+x²y³だから左辺と右辺が等しくなるためには
右辺からx³y²+x²y³を取り除いてあげれば良い
そのためには「ぬ」はx³y²+x²y³=x²y²(x+y)であればよい

「ぬ」から
x⁵+y⁵=(x²+y²)(x³+y³)-x²y²(x+y)
=(x²+y²)(x³+y³)-(xy)(xy)(x+y)
=(a²-2b){a(a²-3b)}-b²a・・・(な、に) 利用
=a{(a²-2b)(a²-3b)-b²}
=画像

三角形の問題
∠Aに関する余弦定理利用でBCが求まります
すると、∠Bにかんする余弦定理でcosθがわかります
次に直角三角形ABPで BP=ABcosθを利用してBPが分かるので
PC=BC-BPとなり比が求まります・・・「ひ」
同様に直角三角形ABPで三平方の定理などからAPも分かります

公式:(x+y)²=x²+2xy+y²を移項して
x²+y²=(x+y)²-2xy
=a²-2b・・・な

公式:x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)および「な」を利用して
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
=(x+y){(x²+y²)-xy}
=a{(a²-2b)-b}
=a{a²-3b}・・・に

(x²+y²)(x³+y³)=x⁵+y⁵+x³y²+x²y³だから左辺と右辺が等しくなるためには
右辺からx³y²+x²y³を取り除いてあげれば良い
そのためには「ぬ」はx³y²+x²y³=x²y²(x+y)であればよい

「ぬ」から
x⁵+y⁵=(x²+y²)(x³+y³)-x²y²(x+y)
=(x²+y²)(x³+y³)-(xy)(xy)(x+y)
=(a²-2b){a(a²-3b)}-b²a・・・(な、に) 利用
=a{...続きを読む

Q高校数学です! (1.2)^n>100となるような最小の値nを求めよという問題について教えてください

高校数学です!
(1.2)^n>100となるような最小の値nを求めよという問題について教えてください!

Aベストアンサー

両辺の常用対数をとると
n×log1.2>2
n > 2/log1.2=2/0.079181246=25.25・・・

n >25.25・・・・・・を満たす最小の整数nは26

いきなりlog1.2は計算出来ないから、
こういう問題は、普通は、log2=0.3010、log3=0.4771が与えられてる。

1.2 = 6/5より

log1.2 = log(6/5) = log6 - log5
log6 = log(2×3) = log2 + log3=0.7781

log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0.3010 = 0.6990
よって、log1.2 = 0.0791

ってやるだが・・。

Q直積空間

画像の主張が成り立つのがピンと来ません。
明らかなようなのですが。
直積空間において有限交叉であることがよくわかっておりません教えてください。

Aベストアンサー

S=Π_{λ∈Λ}S_λ
Fを有限交叉性をもつSの部分集合系とする
Fが有限交叉性をもつという事は

Fの任意の有限部分集合
{X_k}_{k=1~n}⊂F
に対して
∩_{k=1~n}X_k≠φ
が成り立つという事だから

このとき,prx:S→S_λに対して
prx(F)={prx(X)|X∈F}はS_λ部分集合系として

{Y_k}_{k=1~n}を
prx(F)の任意の有限部分集合
{Y_k}_{k=1~n}⊂prf(F)
とすると

k=1~nに対して
Y_k=prx(X_k),X_k∈F
となるX_kがある
{X_k}_{k=1~n}
はFの有限部分集合
{X_k}_{k=1~n}⊂F
で有限交叉性から
∩_{k=1~n}X_k≠φ
だから
a∈∩_{k=1~n}X_k
となるaがある
k=1~nに対して
a∈X_k
だから
prx(a)∈prx(X_k)
↓prx(X_k)=Y_kだから
prx(a)∈Y_k
だから
prx(a)∈∩_{k=1~n}Y_k
となるprx(a)があるから

∩_{k=1~n}Y_k≠φ


prx(F)は有限交叉性をもつ

S=Π_{λ∈Λ}S_λ
Fを有限交叉性をもつSの部分集合系とする
Fが有限交叉性をもつという事は

Fの任意の有限部分集合
{X_k}_{k=1~n}⊂F
に対して
∩_{k=1~n}X_k≠φ
が成り立つという事だから

このとき,prx:S→S_λに対して
prx(F)={prx(X)|X∈F}はS_λ部分集合系として

{Y_k}_{k=1~n}を
prx(F)の任意の有限部分集合
{Y_k}_{k=1~n}⊂prf(F)
とすると

k=1~nに対して
Y_k=prx(X_k),X_k∈F
となるX_kがある
{X_k}_{k=1~n}
はFの有限部分集合
{X_k}_{k=1~n}⊂F
で有限交叉性から
∩_{k=1~n}X_k≠φ
だから
a∈∩_{k=1~n}X_k
と...続きを読む

Qとある数式の展開または変換に関して教えてください。

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に伏在している(著者には当たり前すぎて説明が省略されている?)数式展開上の、あるいは変換上の手法が何なのか、教えていただけるとありがたいです。

y=a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x ----- (1)
=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt} ----- (2)
a/η-1=a/(η-1) ----- (3)
a=η(1-η) ----- (4)

(参考)以下は(1)=(2)をいちいち愚直に展開して(3)にいたる様子です。
a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt}
c=(b-x/η)*e^-ηt
a(x/η+c)-x=a{x/(η-1)+c}
a(x/η+c)-a{x/(η-1)+c} =x
ax/η+ac-ax/(η-1)-ac=x
{a/η-a/(η-1)}x=x
a/η-a/(η-1)=1
a/η-1=a/(η-1)

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に...続きを読む

Aベストアンサー

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
(2)式は
  y/a + x/(η(1-η)) = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
となる。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
ということは、おそらく
  Θ(t) = b e^(-ηt)
なのでしょう。「組織の大きさΘ」なるものは、時間とともにどんんどん小さくなっていく。また、
> 消費エネルギーEc=y  〔cは添字〕
> 組織供給エネルギーEθ=x  〔θは添字〕
はそれぞれ関数E( )を使って E(c)、E(θ)と書けましょう。これらがエネルギーなら単位は[J]です。また、
>  ηは組織維持エネルギー係数、tは時間
なので、tの単位をたとえば秒[s]とすると、ηの単位は[1/s]です。(η-1)という部分でηから1を引き算するってことは、この”1”の方にも単位[1/s]が付いている、ということを意味します。単位をたとえば[1/分]([1/minute)]に変えれば1は1/60に書き換えねばならない。なんだか変な感じですが、ま、そういう式が出てくることもなくはないかな。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
時間の関数Θ( )を考えれば、Θ(0)=bとなりましょう。その単位は [Js] です。
>  α(β-1)=a  〔αは取込みエネルギー係数、βはエネルギー変換効率〕
の単位は[1/s]でなくてはなりません。
なので、おそらく
  (η/a)(E(c) + E(θ)) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (1)
  (η/a)E(c) + E(θ)/(1 - η) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (2)
というのが、もうちょっと自然な表式でしょうね。
 この右辺は(1),(2)どちらも同じで、E(θ)という上限に向かって飽和していく時定数(1/η)[s]の指数関数と、0に向かって漸減していく同じ時定数の指数関数との和の形をしている。ちなみに(1),(2)の共通の右辺の単位はエネルギー[J]なので、意味ありげです。これを
  f(t) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηb e^(-ηt)
と書いてtで微分すると
  f’ = η(E(θ)-ηb) e^(-ηt)
なので
  f = E(θ) - f’/η
という微分方程式を満たしていることがわかります。てことは結局
  f = E(θ) - f’/η
  f = (η/a)E(c) + (η/a)E(θ)
  f = (η/a)E(c) + (1/(1 - η))E(θ)
という3本の式(同じエネルギーfを3通りに説明できる、ということ)がこの話の要点じゃないかな、と推察します。が、いや、どういう文脈で出てくるどういう話なのか、さっぱりわからんですね。

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/...続きを読む

Q面積分の問題です。

放物面S:z=x^2+y^2、(x^2+y^2<=4)について、
(1)この曲面の表面積
(2)この曲面上でのφ=zの面積分
(3)この曲面上でのベクトル場A=yi-xj+z^2kの面積分
の求め方を教えてください。

Aベストアンサー

(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S1=∬[S] dS
=∬D √{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy
=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
x=rcosθ, y=rsinθとおくと
z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←(答え)

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S2=∬[S] φdS
=∬[D} z√{1+(z_x)^2+(z_y)^2}dxdy
=∬[D] (x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy

x=rcosθ, y=rsinθとおけば
(x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy
=(r^2)√(1+4r^2) rdrdθ=(r^3)√(1+4r^2)drdθ
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}
S2=∬[E] (r^3)√(1+4r^2)drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2](r^3)√(1+4r^2)dr
=2π∫[r:0→2](r^3)√(1+4r^2)dr
=2π[(1/120)(6r^2-1)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
=(391(√17)+1)π/60 ←(答え)

(3)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y

S3=∬[S] A↑・n↑dS
=∬[S] (y,-x,z^2)・(-2x,-2y,1)/√(1+4x^2+4y^2) dS
=∬[D] (-2xy+2xy+x^2+y^2)dxdy
=∬[D] (x^2+y^2)dxdy

x=rcosθ, y=rsinθとおくと
D → E:{r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}
S3=∬[E] (r^2) rdrdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] (r^3)dr
=2π[(1/4)r^4][r:0→2]
=8π ←(答え)

(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S1=∬[S] dS
=∬D √{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy
=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
x=rcosθ, y=rsinθとおくと
z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←(答え)

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S2=∬[S] φdS
=...続きを読む

Qこの問題の解答をお願いします 数1aの内容です

この問題の解答をお願いします
数1aの内容です

Aベストアンサー

勘違い、見間違いでした。
訂正します。

Q2点A(-2,1,-1), B (1,3,2)を通る直線の媒介変数表示を媒介変数をtとして求めよ。ま

2点A(-2,1,-1), B (1,3,2)を通る直線の媒介変数表示を媒介変数をtとして求めよ。また、tを消去した直線の方程式を求めよ。
という問題で、解説では、方向ベクトルをAB→としていますが、方向ベクトルをBA→としてはいけないのですか。方向ベクトルをBA→とすると、
BA→=(-3,-2,-3)となり、(x,y,z)=(1,3,2)+t(-3,-2,-3)
x=1-3t, y=3-2t, z=2-3t
直線の方程式は-x+1/3=-y+3/2=-z+2/3となり、解答とは違う答えになりました。これは間違いなのですか。

Aベストアンサー

まちがいではありません。あなたの出した式
-x+1/3=-y+3/2=-z+2/3をすべて-1倍して
x-1/3=y-3/2=z-2/3、そしてさらにすべて1を加えれば
写真の答えになるから、あなたの答えは写真と同じものです。

Q【高校数学】円と直線の問題を解いてください

一応ケとシスまではできたつもりです。以下自己回答。
ア〜ケ→1,6,5,8,5,1,4,2,4
シス→1,2

ここまでの正否とコサセソ、余裕があれば最も効率のいい解き方まで解説お願いします。

Aベストアンサー

△BPQが直角三角形になる場合は、→ 円周角の定理を使う。

(1)直線lの上に立つ円周角を考える時(添付図の左側)
点Bの座標が(6/5、8/5)なので、点Qの座標は(14/5、2/5)と求まる。
(なぜならば、点Bと点Qの中点は、円の中心たる(2,1))
だから、赤い直線nの式は y=(1/7)x

(2)赤い直線nが円の中心を通る時(添付図の右側)
直線n:y=(1/2)x、

ということで、コ:1 サ:7 シ:1 ス:2

求める△BPQの面積であるが、点Bを通って赤い直線nに垂直な直線の式 は y-8/5=-2(x-6/5) → y=-2x+4
これと赤い直線nとの交点Rの座標を求める。
-2x+4=x/2 → 4x+x=8 → x=8/5、y=4/5

BR^2=(6/5-8/5)^2+(8/5-4/5)^2=(-2/5)^2+(4/5)^2
BR=√20/5=2√5/5=2/√5

△BPQ=(1/2)×(PQの長さ=円の半径1×2)×(BR)
=2/√5
セ:2 ソ:5

Qこの問題の解き方教えて下さい。

この問題の解き方教えて下さい。

Aベストアンサー

2次関数
f(x)=2x^2+2ax+a^2/2-a
があり,
-2≦x≦0におけるf(x)の最大値をM,
最小値をmとする.ただし,aは定数とする.
(1)
a=1のとき
f(x)
=2x^2+2x+1/2-1
=2x^2+2x-1/2
=2(x+1/2)^2-1/2-1/2
=2(x+1/2)^2-1
≧-1
-2≦-1/2≦0
最小値f(-1/2)=-1だから

m=-1

(2)
0≦a≦4とする.
m=-M
となるとき
f(x)
=2x^2+2ax+a^2/2-a
=2(x+a/2)^2-a
-2≦-a/2≦0
最小値f(-a/2)=-aだから
m=-a
だから
-M=m=-a
M=a
f(0)=a^2/2-a
f(-2)=8-5a+a^2/2
f(0)-f(-2)=4a-8=4(a-2)

a<2の時
a=M=f(-2)=8-5a+a^2/2
a^2/2-6a+8=0
a^2-12a+16=0
(a-6)^2=20
a=6±2√5
a=6-2√5

a>2の時
a=M=f(0)=a^2/2-a
a^2/2-2a=0
a^2-4a=0
a(a-4)=0
a=4

a=6-2√5
または
a=4

(3)
命題「xは実数とする.-2≦x≦0ならばf(x)≧0」が真
f(x)
=2x^2+2ax+a^2/2-a
=2(x+a/2)^2-a

0≦a≦4のとき
-2≦-a/2≦0
最小値f(-a/2)=-aだから
-a≧0
a=0

f(0)=a^2/2-a
f(-2)=8-5a+a^2/2
f(0)-f(-2)=4a-8=4(a-2)

a<0の時
a<2だから
f(-2)>f(0)=a^2/2-a≧0
a^2-2a=a(a-2)>0
a<0

a>4の時
a>2だから
f(0)>f(-2)=8-5a+a^2/2≧0
a^2-10a+16≧0
(a-8)(a-2)≧0
a≧8

a≦0
または
a≧8

2次関数
f(x)=2x^2+2ax+a^2/2-a
があり,
-2≦x≦0におけるf(x)の最大値をM,
最小値をmとする.ただし,aは定数とする.
(1)
a=1のとき
f(x)
=2x^2+2x+1/2-1
=2x^2+2x-1/2
=2(x+1/2)^2-1/2-1/2
=2(x+1/2)^2-1
≧-1
-2≦-1/2≦0
最小値f(-1/2)=-1だから

m=-1

(2)
0≦a≦4とする.
m=-M
となるとき
f(x)
=2x^2+2ax+a^2/2-a
=2(x+a/2)^2-a
-2≦-a/2≦0
最小値f(-a/2)=-aだから
m=-a
だから
-M=m=-a
M=a
f(0)=a^2/2-a
f(-2)=8-5a+a^2/2
f(0)-f(-2)=4a-8=4(a-2)

a<2の時
a=M=f(-2)=8-5a+a^2/2
a^2/2-6a+8=0
a^2-12a+16=0
(a-6)^2=...続きを読む


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