郡の問題です。

3次対称群 s3 の部分群 H:={e,(23)}に対して，左完全代表系となるものを全て選べ。という問題なのですが考え方が分かりません問題文しかなく選択肢が分からないので解き方を教えていただければ幸いです。自分の考えとしては左余剰類を考えてそこから完全代表系を作るものだと思っているのですが、左余剰類をここからどう求めるのかわからなくて...

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/04 10:50

S3 が左作用か右作用かによって、左剰余類と右剰余類は逆になる。

その点、問題文で単に「3次対称群」とするのではなく、説明が必要だった
と思うな。ここでは一応、左作用としとくけど。(逆の流儀もある。)

S3 の各元を扱う上で置換記法が避けられないが、互換記法と置換記法が
混在すると、目も頭もゴチャゴチャするので、置換記法で統一することにする。
例えば、H の元 (2 3) は、置換記法で (1 3 2) と書く。

左剰余類は、S3 の元 g に対して gH = { gh | h∈H } だが、
e が単位元の意味ならば ge = g なので、
各 g(1 3 2) を計算すれば全貌が解る。
S3 の元は 6 個なので、
(1 2 3)(1 3 2) = (1 3 2),
(1 3 2)(1 3 2) = (1 2 3),
(2 1 3)(1 3 2) = (2 3 1),
(2 3 1)(1 3 2) = (2 1 3),
(3 1 2)(1 3 2) = (3 2 1),
(3 2 1)(1 3 2) = (3 1 2)
で全てである。よって
(1 2 3)H = { (1 2 3), (1 3 2) } = H,
(1 3 2)H = { (1 3 2), (1 2 3) } = H,
(2 1 3)H = { (2 1 3), (2 3 1) },
(2 3 1)H = { (2 3 1), (2 1 3) } = (2 1 3)H,
(3 1 2)H = { (3 1 2), (3 2 1) },
(3 2 1)H = { (3 2 1), (3 1 2) } = (3 1 2)H
であり、左剰余類は 3個ある。

完全代表系は、上記の剰余類の等しいものから
それぞれ 1個づつ代表を選んで集めればよく、
{ (1 2 3)H, (2 1 3)H, (3 1 2)H },
{ (1 2 3)H, (2 1 3)H, (3 2 1)H },
{ (1 2 3)H, (2 3 1)H, (3 1 2)H },
{ (1 3 2)H, (2 3 1)H, (3 2 1)H },
{ (1 3 2)H, (2 1 3)H, (3 1 2)H },
{ (1 3 2)H, (2 1 3)H, (3 2 1)H },
{ (1 3 2)H, (2 3 1)H, (3 1 2)H },
{ (1 3 2)H, (2 3 1)H, (3 2 1)H }
の 8個がある。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/04 09:34

S3={e,(12),(13),(23),(123),(132)}

H={e,(23)}

eH=(23)H=H
(123)H={(123),(123)(23)=(12)}=(12)H={(12),(12)(23)=(123)}
(132)H={(132),(132)(23)=(13)}=(13)H={(13),(13)(23)=(132)}

{e,(123),(132)}
{e,(123),(13)}
{e,(12),(132)}
{e,(12),(13)}
{(23),(123),(132)}
{(23),(123),(13)}
{(23),(12),(132)}
{(23),(12),(13)}