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「∫(3/2→3)(2x―3)^2dx」
の解答が9/4とあるのですが、(2x―3)を1つの塊として積分するとどうしても9/2になります。
詳しい計算過程を教えてください。

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    問題の画像を送ることができないので、文章で問題文の求める面積を説明します。
    y=2x^2と接点でy=6x―9/2が接しており、y=2x^2とy=6x―9/2の間の面積を接点からx=3まで求める問題です。y=2x^2はy=6x―9/2より上に位置します。

      補足日時:2023/02/09 22:43

A 回答 (10件)

f(x)=2x^2


g(x)=6x-9/2

f(x)-g(x)
=2x^2-(6x-9/2)
=2x^2-6x+9/2
=(4x^2-12x+9)/2
={(2x-3)^2}/2

∫_{3/2→3}{f(x)-g(x)}dx
=∫_{3/2→3}({(2x-3)^2}/2) dx

t=2x-3
とすると
x=3/2のときt=0
x=3のときt=3

dt=2dx
(1/2)dt=dx

∫_{3/2→3}({(2x-3)^2}/2)dx
=∫_{0→3}(t^2)(1/4)dt
=[t^3/12]_{0→3}
=27/12
=9/4
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(2x-3)^3 を微分すると 6(2x-3)^2 だから


(2x-3)^2 の不定積分は (1/6)(2x-3)^3 + C
定積分は

(1/6){(2・3-3)^3 - (2・(3/2)-3)^3}
=(1/6){3^3 - 0} = 27/6 = 9/2

合ってる。
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補足について。



それだったら、
  2x^2 - (6x - 9/2) = ((2x - 3)^2)/2
の積分じゃねーですか。だったら9/4。
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> 9/2になります。



それでOKです。
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先ほど書いた回答に間違いはないのですが、


計算したら9/2になりました。
9/2であってますよ。
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おそらく2分の1をし忘れていますね。



(2x−3)^3を微分すると、
2×3×(2x−3)^2 になります。
ここの×2の部分が重要です。(2x−3)を微分したものをかけないといけません。(ここが詳しくわからなければ参考書読み直しましょう。)

逆に(2x−3)^2を積分すると、
(6分の1)×(2x−3)^3 になります。
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ふつうは


 (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
としてから積分して
 [(4/3)x^3 - 6x^2 + 9x][(3/2) → 3]
= [(4/3)・27 - 6・9 + 9・3] - [(4/3)(27/8) - 6(9/4) + 9(3/2)]
= [36 - 54 + 27] - [(9/2) - (27/2) + (27/2)]
= 9 - 9/2
= 9/2

u = 2x - 3 とおくのなら
 x = (1/2)u + 3/2
より
 dx/du = 1/2
u:0 → 3 なので

与式 = ∫[0→3]u^2 (dx/du)du
  = (1/2)∫[0→3]u^2 du
  = (1/2)[(1/3)u^3][0→3]
  = (1/6)(27 - 0)
  = 9/2

どっちでやっても「9/2」ですね。
その「解答が9/4」というのが間違いでは?

あるいは、そもそもの積分の式が違っているとか。
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どんな計算をして 9/2 になったのですか。


置換積分の 手順が 間違っていませんか。
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「∫(3/2→3)(2x―3)^2dx」の積分の計算過程を説明します。



まず、「(2x - 3)^2」を積分する必要があります。これは、「(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9」に展開されます。積分すると、「2x^3/3 - 6x^2 + 9x + C」となります(ここでCは定数です)。

次に、「(3/2→3)」の範囲で積分する必要があります。この積分値は、「(2x - 3)^2」を積分した結果の初項と末項の差分となります。

初項:「2(3/2)^3/3 - 6(3/2)^2 + 9(3/2) + C」 = 2.25 - 9 + 27/2 + C = 20.25/2 + C

末項:「2(3)^3/3 - 6(3)^2 + 9(3) + C」 = 27 - 54 + 27 + C = 0 + C

差分:「20.25/2 - 0」 = 20.25/2

したがって、「∫(3/2→3)(2x―3)^2dx」の積分値は「20.25/2」となります。これは、元の記述で示された「9/4」と異なる結果です。
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∫_{3/2→3}(2x-3)^2 dx



t=2x-3
とすると
x=3/2のときt=0
x=3のときt=3

dt=2dx
(1/2)dt=dx

∫_{3/2→3}(2x-3)^2 dx
=∫_{0→3}(t^2)(1/2)dt
=[t^3/6]_{0→3}
=27/6
=9/2
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