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exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

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A 回答 (3件)

それはδ関数になります。

普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)
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書き漏らしましたので追記です。



δ関数は、高さ∞、巾0、面積1の関数で、
ここで上げたsinc(kx)以外にもいろいろな関数の極限で表現できます。
より正確には関数ではなく超関数と呼ばれるものですが、
一般的な用途では関数と同列に扱われています。

デルタ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94%E9%96%A2%E6% …
フーリエ変換>フーリエ変換表 No.23
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
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この回答へのお礼

デルタ関数ですか!
前に勉強したことがあるのですが、デルタ関数という響きだけ覚えています。
教科書引っ張り出してもう一度勉強します!
ありがとうございました!!

お礼日時:2009/12/24 17:33

 exp(ikx) は次のように実部と虚部に分けることができます。



  exp(ikx)=cos(kx) + i sin(kx)

 cos(kx) や sin(kx) を -∞~+∞で積分するとどうなると思いますか。

 k=0のとき cos(kx)=1 や sin(kx)=0 での積分になりますので、積分値は +∞+i0 となります。

 k≠0のとき cos(kx)もsin(kx)も 振幅1で振動を続けますので、積分値は不定になります。
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この回答へのお礼

やはり、そうですよね。
ありがとうございました!!

お礼日時:2009/12/24 17:00

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このとき、x方向の波数は1、y方向の波数も1、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

さらに発展して考えたとき、x方向とy方向の波数が違っていてもいいですよね(下のリンクのような)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとx方向の波数は1、y方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長(λx,λy,λz)から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
なので波の始点や終点という概念はありません。
この波数ベクトルの利点は、たとえば現実空間で
y=sin(1*x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+・・・+sin((n-1)*x)+sin(n*x)
を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このと...続きを読む


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