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今日読んだ本に

絶対値(e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

と書いてありました。
オイラーの公式はe^iθ=cosθ+i sinθですよね

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか?
上の式も下の式もよくわかりません
どなたか両方詳しく教えて下さい。

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A 回答 (4件)

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1



この部分は、実数rに対しては、|r|=√(r^2)となるのですが、
複素数cのたいしては、
|c|=√(c*(cの共役複素数))
となります。
(e^iθ)の共役複素数は(e^-iθ)ですから、

絶対値(e^iθ) =√((e^iθ)*(e^-iθ))=√(e^0)=√1=1
となります。

実数と複素数では絶対値の計算が少し異なります。
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複素数の大きさ(絶対値)の定義は



複素数の大きさ(絶対値)=√(複素数の実数成分^2 + 複素数の虚数成分^2)

オイラーの公式はe^(iθ)=cosθ+i・sinθ

以上から

(e^(iθ))の絶対値 = √(cosθ^2+sinθ^2)=√(1)=1
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> 絶対値(e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1



複素数の絶対値というのは、複素数平面上の原点からの距離ですよね。

複素数e^iθ=cosθ+i sinθ は 複素数平面上の(cosθ, sinθ)の位置にありますから、
原点(0,0)からの距離は cosθ^2+sinθ^2 の平方根となります。

言い換えると、原点(0,0)を中心とする半径1の円の上にこの点はあります。

すみませんが、下の式というのはよくわかりません。
(どこか違うような気がします)
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R*e^(iθ) の絶対値は、R > 0 ならば R そのもの。


e^(iθ) は 1*e^(iθ) ですから、R = 1 が絶対値。

くどくどと書けば、
 |R*e^(iθ)| = |R| * |e^(iθ)|
|e^(iθ)| = √(cosθ^2 + sinθ^2) = 1 だから、
 |R*e^(iθ)| = |R|
R > 0 ならば |R| = R 。

>絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1
>とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか?

それは不成立。
くどくどと書くと、
絶対値(e^iθ) = √{e^(iθ)*e^(-iθ)} = √{e^(iθ-iθ)} = √(e^0) = √(1) = 1

  
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(4)
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★回答
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・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
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補足:
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・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
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参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
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Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

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 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
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 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

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出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

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この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
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それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
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答えは| E |^2 =√( A^2 + B^2 + 2AB cos(φ1 - φ2))になります

cosとsinの式に直し, 実部と虚部に分けて|x + i y |^2 = (√(x^2 + y^2))^2 の
関係を使ったのですが, なぜこのような解になるかがわかりません

Aベストアンサー

E = A exp i(ωt - φ1) + B exp i(ωt - φ2)

簡単のため

p1=ωt - φ1, p2=ωt - φ2

で表す。オイラーの公式により

E=Acosp1+iAsinp1+Bcosp2+iBsinp2=(Acosp1+Bcosp2)+i(Asinp1+sinp2)

E^2=(Acosp1+Bcosp2)^2+(Asinp1+sinp2)^2

=A^2(cosp1^2+sinp1^2)+B^2(cosp2^2+sinp2^2)+2AB(cosp1cosp2+sinp1sinp2)

=A^2+B^2+2ABcos(p1-p2) ...............加法定理使用

  =A^2+B^2+2ABcos(φ1-φ2)


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