なぜcosθにsinθに虚数iを掛けたものを足したら円上の点になるのでしょうか？ なぜ円上の点を表す

なぜcosθにsinθに虚数iを掛けたものを足したら円上の点になるのでしょうか？
なぜ円上の点を表すとわかったのでしょうか？

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2020/09/02 10:30

「円上の点を表すと分かった」と言うよりは「円上の点で表す事にした」と考えた方がいいと思います。

複素平面を「実軸をx軸、虚軸をy軸に取った直交座標平面」と解釈すれば、e^iφは複素数の極形式と解釈できるので、過去回答にも出て来た極座標の定義を用いれば「円上の点」として表すのが一番分かりやすいはずです。

この回答へのお礼

なるほど、そう定義したため、cosθにsinθに虚数iを掛けたものを足したら円上の点になるのですね！

お礼日時：2020/10/02 20:49

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/02 08:26

実二次空間の点 (x,y) と複素数 z を z = x+iy で対応させることは習いましたか？

実二次空間をそのように考えることを「複素数平面」といいます。
あとは、(cosθ,sinθ) が平面上の円を表すことを知っていれば、
円が複素数平面において cosθ+i sinθ で表されることが判りますね。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/09/01 20:02

e˟=1+x/1! + x²/2! + x³/3! + ・・・・・

sinx=x/1! - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7!+ ・・・・・
cosx=1- x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + x⁸/8! ・・・・・
i²=-1

e˟の指数をxからixへ変更して、-1=i²へ置き換えて変形して行くと
eⁱ˟=cosx+isinxが導き出せる。

図形解釈は後付け。単に変形して行くだけのこと。

この回答へのお礼

なるほど、オイラーで式を作った後で図としてみた場合を円のように定義したのですね。

お礼日時：2020/10/02 20:51

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2020/09/01 19:45

複素数 z=x+iy（x,yは実数）…①とすると、

複素平面上では1個の点P(x,y)で表せます。
三角関数を知っていると、「点Pと原点Oを結ぶ線分」とx軸がなす角φを使って、
x=cosφ、y=sinφと表せます。（←図の通り。）
これを①に代入すると、z=cosφ+i sinφ …②
になります。