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θが微小のとき、
sinθ≒tanθ≒θ、cosθ≒1となるのはなぜでしょうか?
途中計算もお願いします。

A 回答 (4件)

No.1~3さんのご回答で、理由はご理解いただけたかと思います。


若干の補足情報を。

マクローリン展開は、テイラー展開と呼ばれる各種関数を無限級数に書き換える作業の、特別な場合(θ≒0の場合)の式です。

sinθ=θ-(1/3!)θ³+(1/5!)θ⁵-(1/7!)θ⁷+(1/9!)θ⁹-…

(文字化け対策 sinθ=θ-(1/3!)θ^3+(1/5!)θ^5-(1/7!)θ^7+(1/9!)θ^9-…)

物理学などでは、「微小な量の2乗以上は0」とする近似がよく行われます。
θでさえ極めて小さいのだから、θ^2ともなれば、無視してもいいくらい十分に小さいだろうとの考え。
(10⁻³)²=10⁻⁶などと具体的に計算してみれば、確かにそうだなと思いますね?
((10^(-3))^2=10^(-6))

このことを上の式に摘要すれば、θ^3以降が全部なくなるから、θ≒0のときsinθ≒θとできるのですね。

cosθ、tanθについては、cos0=1、tanθ=sinθ/cosθだから、質問文のとおりの近似で良さそうですね?
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x-y平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き、さらに


原点Oを通りx軸との角度θの直線を描いて、円と直線との
交点をP、Pからx軸に下ろした垂線の足をQとして下さい。
又、点(1,0)(これをRとします)を通るx軸に垂直な直線を
描き、OPの延長線との交点をSとして下さい。
このとき、cosθ=OQ/OP=OQ/1=OQです。θが0に近づくと
点QはRに近づき、従ってOQが1に近づくので、θが微小の
ときはcosθ=OQ≒1となります。
 次に△OPQの面積と中心角θの扇形の面積と△OSRの面積を
比較すると、
△OPQの面積<中心角θの扇形の面積<△OSRの面積となって
います。ここで△OPQの面積=(1/2)*OQ*PQ=(1/2)cosθsinθ、
中心角θの扇形の面積=(θ/2π)*π*1^2=θ/2、
△OSRの面積=(1/2)*OR*SR=(1/2)tanθ、です。従って
(1/2)cosθsinθ<θ/2<(1/2)tanθとなり、各辺に2/sinθ
を掛けると
cosθ<θ/sinθ<1/cosθとなり、上でみたようにθが0に
近づくとcosθは1に近づくので、cosθ<θ/sinθ<1/cosθ
の両側が1に近づき、従って両側に挟まれた従ってθ/sinθも
1に近づくので、θが微小のときはsinθ≒θとなります。
tanθはsinθ/cosθですから、以上の結果からθが微小の
ときはtanθ≒θとなります。
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>cosθ≒1



こちらについては、y=cosθのグラフを見ると、ある程度想像がつくような気がします。
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 さまざまな説明があるでしょうけど、マクローリン展開(0近傍でのテイラー展開)での1次までの近似という理解もあるでしょうね。



http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch …
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