シグマなど文字を含んだままでの微分の仕方

最適化問題では微分が使われますが、Σや掛け算を省略するπが含まれていることも多々あります。また、文字を含んだまま計算しなければならないと思いますが、微分をするときにΣとπをどのように扱ったらよいかわかりません。
省略されているものをバラバラにしないで計算する方法をΣとπを例にとって教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2005/09/19 17:47

和の方は、

d/dx{Σfi(x)} = Σfi'(x)
または
d/d xi {Σf(xi)} = f'(xi)
になります。
前者は例えば、
fi(x) = x^i
Σfi(x) = x + x^2 + ...
のような式を x について微分した場合で、後者は例えば
f(x) = x^2
Σf(xi) = x1^2 + x2^2 + ...
のような式を xi について微分した場合です。

積については
d/d xi Πfi(x) = Π[j≠1]f(xj) f'(x1) + Π[j≠2]f(xj) f'(x2) + ...
= ΣΠ[j≠i]f(xj) f'(xi)
または
d/d xi Πf(xi) = Π[j≠i]f(xj) f'(xi)
になります。
前者は関数の積の微分であり、後者は微分しない変数は定数として扱っています（この意味では偏微分です）。

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/09/19 18:00

Σの方は No. 1 の方の言われるとおりです。

Πの方は式が複雑です。もし、全ての因子式が正であることが保障されるなら対数を取ってΣにしたらどうですか。最適化問題なら、対数でも真数でも最適条件は変わりませんね？